Granice ciągów (wzory) - WYZNACZNIK - Matematyka na studiach

Najważniejsze algorytmy potrzebne w praktyce do liczenia granic ciągów.

Podzielimy liczenie granic ciągów na cztery podstawowe grupy, do których podamy schematy rozwiązań.

I grupa (podstawowe granice ciągów)

Ciągi o wyrazie ogólnym postaci: $\dpi{120} a_{n}=\frac{W_{k}\left ( n \right )}{W_{l}\left ( n \right )}$ , gdzie $\dpi{120} W_{i}\left ( n \right )$ oznacza wielomian stopnia $\dpi{120} i$ .

Algorytm: na przykładzie $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-5n^{3}+2n-7}{4n^{5}-2n^{2}+2}$

1. Wyłączamy z licznika i mianownika najwyższą potęgę mianownika:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{3n^{2}-5n^{3}+2n-7}{4n^{5}-2n^{2}+2}=\lim_{n \to \infty }\frac{n^{5}\cdot \left ( \frac{3n^{4}}{n^{5}}-\frac{5n^{3}}{n^{5}}+\frac{2n}{n^{5}} -\frac{7}{n^{5}}\right )}{n^{5}\cdot \left ( \frac{4n^{5}}{n^{5}}-\frac{2n^{2}}{n^{5}} +\frac{2}{n^{5}}\right )}=$

2. Skracamy potęgi:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\frac{3}{n}-\frac{5}{n^{2}}+\frac{2}{n^{4}}-\frac{7}{n^{5}}}{4-\frac{2}{n^{3}}+\frac{2}{n^{5}}}=$

3. Wykorzystujemy fakt, że $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{a}{n^{k}}=0$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{3}{n}}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{5}{n^{2}}}}+\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{2}{n^{4}}}}-\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{\frac{7}{n^{5}}}}}{4-\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{2}{n^{3}}}}+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{2}{n^{5}}}}}=\frac{0}{4}=0.$

Pokaż algorytm

Zwiń

Do tej grupy warto zapamiętać, że jeżeli:

a) stopień wielomianu w liczniku jest taki sam jak stopień wielomianu w mianowniku, to granica ciągu jest równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach $\dpi{120} n$ .

b) stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, to granica ciągu jest równa 0. (jak w naszym przykładzie)

c) stopień wielomianu w liczniku jest większy od stopnia wielomianu w mianowniku, to granica ciągu jest równa $\dpi{120} +\infty$ lub $\dpi{120} -\infty$ , w zależności od znaków współczynników przy najwyższych potęgach $\dpi{120} n$ w liczniku i mianowniku.

Po zastosowaniu tych wiadomości granice Grupy I można liczyć w pamięci. Więcej przykładów w zakładce Zadania.

II grupa (granice typu $\dpi{120} \sqrt{...}-\sqrt{...}$ )

Zaliczymy tu ciągi, w których występuje w liczniku bądź mianowniku symbolicznie: $\dpi{120} \sqrt{...}-\sqrt{...}$ lub $\dpi{120} \sqrt[3]{...}-\sqrt[3]{...}$ . Są to ciągi, w których pojawia się wyrażenie nieoznaczone $\dpi{120} \infty -\infty$ .

Algorytm dla $\dpi{120} \sqrt{...}-\sqrt{...}$ na przykładzie $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{2n^{2}+5n}-\sqrt{2n^{2}+3} \right )$

1. Mnożymy wyrażenie pod znakiem granicy przez tzw. sprzężenie, czyli $\dpi{120} \frac{\sqrt{...}+\sqrt{...}}{\sqrt{...}+\sqrt{...}}=1$

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt{2n^{2}+5n}-\sqrt{2n^{2}+3} \right )\cdot \frac{\sqrt{2n^{2}+5n}+\sqrt{2n^{2}+3}}{\sqrt{2n^{2}+5n}+\sqrt{2n^{2}+3}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (\overset{x}{\overbrace{\sqrt{2n^{2}+5n }}}-\overset{y}{\overbrace{\sqrt{2n^{2}+3}}} \right )\cdot \left (\overset{x}{\overbrace{\sqrt{2n^{2}+5n }}}+\overset{y}{\overbrace{\sqrt{2n^{2}+3}}} \right )}{\sqrt{2n^{2}+5n}+\sqrt{2n^{2}+3}}=$

2. W liczniku (bądź mianowniku zależy od przykładu) pojawia się wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} \left ( x-y \right )\cdot \left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{\left (\sqrt{2n^{2}+5n} \right )^{2}-\left (\sqrt{2n^{2}+3} \right )^{2}}{\sqrt{2n^{2}+5n}+\sqrt{2n^{2}+3}}=\lim_{n \to \infty }\frac{\left (2n^{2}+5n \right )-\left (2n^{2}+3 \right )}{\sqrt{2n^{2}+5n}+\sqrt{2n^{2}+3}}=$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{2n^{2}+5n -2n^{2}-3}{\sqrt{2n^{2}+5n}+\sqrt{2n^{2}+3}}=\lim_{n \to \infty }\frac{5n -3}{\sqrt{2n^{2}+5n}+\sqrt{2n^{2}+3}}=$

3. Wyłączamy z licznika i mianownika najwyższą potęgę mianownika. Uważajmy jednak na pierwiastki. W naszym przykładzie będzie to $\dpi{120} n$ (a nie $\dpi{120} n^{2}$ ).

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{n\cdot \left ( \frac{5n}{n}-\frac{3}{n} \right )}{n\cdot \left ( \sqrt{\frac{2n^{2}}{n^{2}}+\frac{5n}{n^{2}}}+\sqrt{\frac{2n^{2}}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}} \right )}=\lim_{n \to \infty }\frac{5-\frac{3}{n}}{\sqrt{2+\frac{5}{n}}+\sqrt{2+\frac{3}{n}}}=$

4. Wykorzystujemy fakt, że $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{a}{n^{k}}=0$

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\frac{5-\frac{3}{n}}{\sqrt{2+\frac{5}{n}}+\sqrt{2+\frac{3}{n}}}=\frac{5}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{5}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}.$

Pokaż algorytm

Zwiń

Algorytm dla granic ciągów typu $\dpi{120} \sqrt[3]{...}-\sqrt[3]{...}$ w zakładce Zadania – zadanie 8 przykład 5) i 6).

III grupa ( tw. o trzech ciągach)

Ciągi z zastosowaniem tw. o trzech ciągach (patrz Teoria). Są to najczęściej ciągi, w których wyraz ogólny ma postać $\dpi{120} \sqrt[n]{x^{n}+y^{n}+...}$ Pod pierwiastkiem może być bardziej rozwinięta postać co można zobaczyć w zadaniach.

Algorytm na przykładzie $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2^{n}+3\cdot 4^{n}+5}$

1. Ograniczamy wyrażenie spod znaku granicy z prawej strony od góry, zastępując każdą potęgę pod pierwiastkiem największą z występujących potęg, tzn.

$\dpi{120} \sqrt[n]{2^{n}+3\cdot 4^{n}+5}=\sqrt[n]{2^{n}+3\cdot \underline{4^{n}}+5\cdot 1}{\color{Red} \leqslant} \sqrt[n]{\underline{\underline{1}}\cdot \underline{4^{n}}+\underline{\underline{3}}\cdot \underline{4^{n}}+\underline{\underline{5}}\cdot \underline{4^{n}}} =\sqrt[n]{\underline{\underline{9}}\cdot \underline{4^{n}}}=$

2. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.

$\dpi{120} =\sqrt[n]{9\cdot 4^{n}}=\sqrt[n]{9}\cdot \sqrt[n]{4^{n}}=$

3. Wykorzystujemy własność $\dpi{120} \sqrt[n]{a^{n}}=a$ oraz fakt $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c}=1$ gdy $\dpi{120} c>0$

$\dpi{120} \overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{9}}}\cdot \overset{=4}{\overbrace{\sqrt[n]{4^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}1\cdot 4=4.$

Otrzymaliśmy, że

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2^{n}+3\cdot 4^{n}+5}{\color{Red} \leqslant} \lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt[n]{9}\cdot \sqrt[n]{4^{n}} \right )=4$

4. Ograniczamy wyrażenie spod znaku granicy z lewej strony od dołu, pozostawiając jedynie składnik zawierający największą z występujących potęg, tzn.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2^{n}+\underline{3\cdot 4^{n}}+5}{\color{Blue} \geq }\sqrt[n]{\underline{3\cdot 4^{n}}}=$

5. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.

$\dpi{120} =\sqrt[n]{3\cdot 4^{n}}=\sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[n]{4^{n}}=$

6. Wykorzystujemy własność $\dpi{120} \sqrt[n]{a^{n}}=a$ oraz fakt $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c}=1$ gdy $\dpi{120} c>0$

$\dpi{120} =\overset{\rightarrow 1}{\overbrace{\sqrt[n]{3}}}\cdot \overset{=4}{\overbrace{\sqrt[n]{4^{n}}}}\overset{n \to \infty }{\rightarrow}1\cdot 4=4.$

Otrzymaliśmy, że

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2^{n}+3\cdot 4^{n}+5}{\color{Blue} \geqslant} \lim_{n \to \infty }\left ( \sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[n]{4^{n}} \right )=4.$

7. Korzystamy z tw. o trzech ciągach:

$\dpi{120} 4=\lim_{n \to \infty }\left ( \overset{a_{n}}{\overbrace{\sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[n]{4^{n}}}} \right ){\color{Blue} \leqslant}\lim_{n \to \infty }\overset{c_{n}}{\overbrace{\sqrt[n]{2^{n}+3\cdot 4^{n}+5}}}{\color{Red} \leqslant}\lim_{n \to \infty }\left ( \overset{b_{n}}{\overbrace{\sqrt[n]{9}\cdot \sqrt[n]{4^{n}}}} \right )=4$

Stąd na podstawie tw. o trzech ciągach mamy:

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{2^{n}+3\cdot 4^{n}+5}=4.$

Pokaż algorytm

Zwiń

Patrząc na wyjściowy ciąg jesteśmy w stanie od razu powiedzieć jaka jest jego granica. Jest to podstawa największej z potęg występujących pod pierwiastkiem. Nie można jednak wpisać jej od razu. Zadanie zostanie ocenione najprawdopodobniej na 0 punktów. Należy przeprowadzić całe rozumowanie. Można je lekko skrócić, co pokażemy z zadaniach.

IV grupa (granice z liczbą $\dpi{120} \large e$ )

Ciągi wykorzystujące liczbę $\dpi{120} e$ . Ogólny wyraz takiego ciągu jest najczęściej w postaci: $\dpi{120} \left ( 1\pm \frac{c}{W_{k}\left ( n \right )} \right )^{P_{k}\left ( n \right )}$ lub bardziej ogólnie $\dpi{120} \left ( \frac{W_{k}\left ( n \right )}{P_{k}\left ( n \right )} \right )^{Q_{k}\left ( n \right )}.$

Algorytm na przykładzie $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n+7}{n+2} \right )^{2n-3}$

1. Do licznika wpisujemy mianownik i uzgadniamy go, aby nie zmienił wartości, tzn.

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n+7}{n+2} \right )^{2n-3}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{{\color{Red} n}{\color{Red} +}\overset{7}{\overbrace{{\color{Red} 2}+5}}}{{\color{Red} n+2}} \right )^{2n-3}=$

2. Rozdzielamy ułamek w podstawie potęgi tak, aby uzyskać 1

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n+2+5}{n+2} \right )^{2n-3}=\lim_{n \to \infty }\left ( \frac{n+2}{n+2} +\frac{5}{n+2}\right )^{2n+3}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{5}{n+2}\right )^{2n+3}=$

3. Stałą z licznika ułamka „przenosimy” do mianownika tworząc ułamek piętrowy:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{{\color{Red} 5}}{n+2}\right )^{2n+3}=\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{n+2}{{\color{Red} 5}}} \right )^{2n+3}=$

4. Wykorzystujemy granicę: $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{a_{n}} \right )^{a_{n}}=e.$ W mianowniku otrzymaliśmy ciąg $\dpi{120} a_{n}$ i wpisujemy go do wykładnika potęgi, a następnie uzgadniamy wykładnik z wcześniejszym:

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{\frac{n+2}{ 5}} \right )^{{\color{Blue} 2n+3}}=\lim_{n \to \infty }\left [\left ( 1+\frac{1}{\underset{a_{n}}{\underbrace{{\color{Red} \frac{n+2}{ 5}}}}} \right )^{\overset{a_{n}}{\overbrace{{\color{Red} \frac{n+2}{ 5}}}}} \right ]^{{\color{Red} \frac{5}{n+2}}\cdot \left ( {\color{Blue} 2n+3} \right )}=$

Poza nawiasem kwadratowym wpisaliśmy odwrotność ciągu $\dpi{120} a_{n}$ , czyli $\dpi{120} {\color{red} \frac{5}{n+2}}$ . Wówczas wykładniki dają wartość 1 (potęga potęgi). Żeby uzyskać wcześniejszy wykładnik mnożymy go przez $\dpi{120} {\color{Blue} 2n+3}$ .

5. Liczymy granicę ciągu powstałego w wykładniku, w naszym przypadku $\dpi{120} \frac{5}{n+2}\cdot \left ( 2n+3 \right )$

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{5}{n+2}\cdot \left ( 2n+3 \right )=\lim_{n \to \infty }\frac{{\color{Red} 5}\cdot \left ( {\color{Red} 2}n+3 \right )}{{\color{Red} 1}n+2}=\frac{5\cdot 2}{1}=10.$

Wykorzystaliśmy tutaj wiadomości o ciągach z grupy I. Ponieważ najwyższy stopień w liczniku jest taki sam jak w mianowniku, wystarczy spojrzeć na współczynniki przy najwyższych potęgach w liczniku i mianowniku.

6. Wewnątrz nawiasu kwadratowego otrzymujemy liczbę $\dpi{120} e$ (bądź $\dpi{120} e^{-1}$ ).

$\dpi{120} =\lim_{n \to \infty }\left [\underset{e}{\underbrace{\left ( 1+\frac{1}{\frac{n+2}{ 5}} \right )}}^{\frac{n+2}{ 5}} \right ]^{\overset{10}{\overbrace{\frac{5}{n+2}\cdot \left ( 2n+3 \right )}}}=e^{10}.$

Pokaż algorytm

Zwiń

Zapraszamy do zadań! tutaj