Ekstrema lokalne funkcji różniczkowalnych znajdujemy w następujący sposób: Krok 1. Wyznaczamy pochodną funkcji i jej miejsca zerowe (punkty stacjonarne), są to tzw. punkty podejrzane o ekstremum. (twierdzenie 1, zakładka Teoria) Krok 2. Badamy znak pochodnej funkcji w otoczeniu wyznaczonych punktów stacjonarnych. Krok 3. Korzystając z twierdzenia 2, zakładka Teoria ustalamy, czy w danym punkcie stacjonarnym Read more about Ekstrema lokalne funkcji – wzory[…]
Mówimy, że funkcja ma minimum (maksimum) lokalne w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba taka, że dla każdego zachodzi nierówność (odpowiednio ). Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji. Twierdzenie 1. (warunek konieczny ekstremum) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to Punkt , dla Read more about Ekstrema lokalne funkcji – teoria[…]
Warto zapoznać się z zakładką Wzory tutaj i Teoria tutaj. Zadanie 1. Zbadać monotoniczność funkcji: 2) Zadanie 2. Znaleźć przedziały, na których wykres funkcji jest wypukły bądź wklęsły oraz wyznaczyć punkty przegięcia tego wykresu. Zadanie 3. Znaleźć asymptoty funkcji:
MONOTONICZNOŚĆ Aby określić monotoniczność funkcji badamy zachowanie jej pochodnej. Jeżeli: a) to funkcja jest rosnąca, b) to funkcja jest malejąca, c) to funkcja jest stała. WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ Aby określić wklęsłość (wypukłość) funkcji badamy zachowanie jej drugiej pochodnej. Jeżeli: a) , to krzywa jest wklęsła ””, b) , to krzywa jest wypukła ””. PUNKTY PRZEGIĘCIA Read more about Monotoniczność i asymptoty funkcji – wzory[…]
Omówimy tutaj dwa zastosowania pochodnej funkcji, a mianowicie monotoniczność funkcji oraz wklęsłość i wypukłość funkcji. Dodatkowo powiemy o asymptotach funkcji. MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI Twierdzenie 1. Jeżeli jest różniczkowalna w pewnym przedziale oraz dla każdego : a) to funkcja jest rosnąca w , b) to funkcja jest malejąca w , c) to funkcja jest stała w . Read more about Monotoniczność i asymptoty funkcji – teoria[…]
Mamy 6 zadań. W zadaniu 1 i 2 liczymy pochodne z definicji. W zadaniu 3 liczymy pochodne ze wzorów przedstawionych w zakładce Wzory tutaj. Kolejność podpunktów jest znacząca: od łatwych do trudnych. Zadanie 4 to tzw. pochodne logarytmiczne. Zupełnie inny schemat dlatego przedstawiony w oddzielnym zadaniu. W zadaniu 5 i 6 przedstawiamy podstawowe zastosowanie pochodnej Read more about Pochodna funkcji – zadania[…]
Pochodne funkcji elementarnych: pochodna funkcji stałej, – dowolna stała rzeczywista, , Podane wyżej wzory na pochodne funkcji elementarnych oznaczają, że funkcje te są różniczkowalne w swych dziedzinach. Pochodna Read more about Pochodna funkcji – wzory[…]
Niech będzie funkcją określoną na pewnym otoczeniu punktu . Symbolem oznaczamy przyrost zmiennej , który może być dodatni albo ujemny, lecz różny od zera i taki, że Iloraz nazywamy ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu zmiennej . DEFINICJA Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę właściwą, gdy dąży do zera, to granicę tę nazywamy pochodną Read more about Pochodna funkcji – teoria[…]
Mamy 6 zadań. Kolejność zadań i podpunktów w zadaniach jest istotna. Zadanie 1 pokazuje liczenie granic z podstawowych ich własności, zadania kolejne wykorzystują schematy przedstawione w zakładce Wzory tutaj dla poszczególnych grup granic. Zadanie 5 to ”mieszanka” wszystkich typów granic. Ostatnie zadanie 6 to badanie ciągłości funkcji. Granice z zastosowaniem reguły de l’Hospitala znajdziemy w Read more about Granice funkcji – zadania[…]
Liczenie granic funkcji (bez reguły de l’Hospitala) podzielimy na trzy podstawowe grupy. I Grupa Granice funkcji wymiernych zawierających symbol , na przykładzie : II Grupa Granice funkcji niewymiernych zawierających symbol , na przykładzie : III Grupa Granice funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem granicy Z granicy tej wynikają inne wartości granic, takie jak oraz ich uogólnienia Read more about Granice funkcji – wzory[…]