Kategoria: Analiza

Całkowanie przez podstawienie – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Przy całkowaniu przez podstawienie najważniejszym i najtrudniejszym krokiem jest poprawne dobranie podstawienia, które sprowadzi całkę do całki łatwiejszej. Mając odpowiednie podstawienie zadanie staje się bardzo schematyczne. Pamiętajmy, że podstawienie powinno być jak najprostsze. Nigdy nie podstawiamy za funkcję złożoną. Schemat podamy rozwiązując kolejne przykłady. Zadanie 1. Obliczyć całki (przez podstawienie): 3) 6) 7) 8) 9) Read more about Całkowanie przez podstawienie – zadania[…]

Całka nieoznaczona – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Funkcję nazywamy funkcją pierwotną funkcji na przedziale , jeśli dla każdego spełniony jest warunek: Twierdzenie 1. (o funkcjach pierwotnych) Jeśli jest funkcją pierwotną na przedziale , to:  funkcja , gdzie oznacza dowolna stałą, jest także funkcją pierwotną funkcji na przedziale , każdą funkcję pierwotną funkcji na przedziale , można przedstawić w postaci sumy , gdzie Read more about Całka nieoznaczona – teoria[…]

Szereg Taylora – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W temacie tym nie ma zakładki wzory, gdyż teoria jest krótka tutaj. Na szczególną uwagę zasługują podpunkty 1), 2), 3) z zadania 1. Są to rozwinięcia, które należy znać na pamięć (końcowe rozwinięcie). Przydadzą się nie tylko na matematyce, ale również na innych przedmiotach. Kolejność zadań i podpunktów w zadaniach jest istotna. Niektóre podpunkty wykorzystują Read more about Szereg Taylora – zadania[…]

Szereg Taylora – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Twierdzenie 1. (wzór Taylora) Jeżeli funkcja ma ciągłe pochodne do rzędu  włącznie na pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt , wówczas dla każdego z tego przedziału istnieje taki punkt , leżący pomiędzy i że W ostatnim wyrazie występuje liczba , której wartość jest na ogół inna dla każdego oraz . Wyraz ten oznaczamy : i nazywamy Read more about Szereg Taylora – teoria[…]

Reguła de l’Hospitala – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Zadania będą podzielone zgodnie z grupami wprowadzonymi w zakładce Wzory tutaj. W ostatnim zadaniu będzie ”mieszanka” wszystkich grup, aby móc samodzielnie klasyfikować poszczególne granice. Zaleca się przestudiowanie zakładki Wzory, gdyż znajdują się tam schematy rozwiązań dla każdej grupy granic funkcji.   Zadanie 1. Stosując regułę de l’Hospitala obliczyć granice (grupa I tutaj): 2) Zadanie 2. Read more about Reguła de l’Hospitala – zadania[…]

Reguła de l’Hospitala – wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Pamiętajmy, że sama reguła de l’Hospitala odnosi się jedynie do symboli nieoznaczonych oraz . Wiemy już, że tych wyrażeń nieoznaczonych jest więcej (patrz Granice ciągów – teoria). Liczenie granic zawierających symbole nieoznaczone podzielimy na cztery grupy, do których podane zostaną schematy rozwiązań. Grupa I ( , ) Schemat rozwiązania na przykładzie: .     Grupa II ( Read more about Reguła de l’Hospitala – wzory[…]

Reguła de l’Hospitala – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Przy liczeniu granic funkcji mogą pojawić się symbole nieoznaczone. Niektóre liczyliśmy już w temacie Granice funkcji tutaj. Jednak czasami nie potrafimy pozbyć się symbolu nieoznaczonego bez zastosowania tzw. reguły de l’Hospitala. Możemy również stosować ją zamiennie do innych metod. Jak komu wygodniej. Twierdzenie 1. (reguła de l’Hospitala) Jeżeli w punkcie jest wyrażeniem nieoznaczonym typu lub Read more about Reguła de l’Hospitala – teoria[…]

Ekstrema lokalne funkcji – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 4 zadania. W pierwszym liczymy ekstrema różnych funkcji według schematu podanego w zakładce Wzory tutaj. Jest to najbardziej powszechne zadanie na kolokwiach. Zadania pozostałe są zadaniami z treścią. Zadanie 3 jest najtrudniejsze i najdłuższe, ale zachęcam do przestudiowania go.    Zadanie 1. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: 4) Zadanie 2. Znaleźć współczynniki trójmianu takie, aby Read more about Ekstrema lokalne funkcji – zadania[…]