Całki podstawowe (zadania) - WYZNACZNIK

Znajdziemy tutaj podstawowe całki, liczone jedynie z definicji i podstawowych własności. Całki z zastosowaniem innych metod w dalszych tematach. Podstawowe wzory tutaj.

Zadanie. Obliczyć całki:

1) $\dpi{120} \int \left (x^{5}+3x^{3}-4x^{2}-8x+3 \right )dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ :

$\dpi{120} \int \left (x^{5}+3x^{3}-4x^{2}-8x+3 \right )dx=\frac{x^{6}}{6}+3\cdot \frac{x^{4}}{4}-4\cdot \frac{x^{3}}{3}-8\cdot \frac{x^{2}}{2}+3x+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{6}x^{6}+\frac{3}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}-4x^{2}+3x+C$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \int \left (2x^{2}+\frac{1}{x}- \frac{2}{x^{3}}+5 \right )dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ oraz $\dpi{120} \int \frac{1}{x}dx=\ln \left | x \right |+C$ :

$\dpi{120} \int \left (2x^{2}+\frac{1}{x}- \frac{2}{x^{3}}+5 \right )dx=\int \left ( 2x^{2}+\frac{1}{x} -2x^{-3}+5\right )dx=$

$\dpi{120} =2\cdot \frac{x^{3}}{3}+\ln \left | x \right |-2\cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1}+5x+C=$

$\dpi{120} =\frac{2}{3}x^{3}+\ln \left | x \right |+x^{-2}+5x+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \int \left (3\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x^{2}}-x \right )dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , ale najpierw przekształcimy funkcję podcałkową do innej postaci:

$\dpi{120} \int \left (3\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x^{2}}-x \right )dx=\int \left (3x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{2}{3}}-x \right )dx=$

$\dpi{120} =3\cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-3\cdot \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}-\frac{x^{2}}{2}+C=$

$\dpi{120} =3\cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-3\cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}-\frac{1}{2}x^{2}+C=$

$\dpi{120} =2x^{\frac{3}{2}}-\frac{9}{5}x^{\frac{5}{3}}-\frac{1}{2}x^{2}+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \int \frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{x^{2}}dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , ale najpierw przekształcimy funkcję podcałkową do innej postaci:

$\dpi{120} \int \frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{x^{2}}dx=\int \frac{x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{3}}}{x^{2}}dx=\int \left (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}-\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{2}} \right )dx=\int \left ( x^{\frac{1}{2}-2}-x^{\frac{1}{3}-2} \right )dx=$

$\dpi{120} =\int \left ( x^{-\frac{3}{2}} -x^{-\frac{5}{3}}\right )dx=\frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1}-\frac{x^{-\frac{5}{3}+1}}{-\frac{5}{3}+1}+C=$

$\dpi{120} =-2x^{-\frac{1}{2}}+\frac{3}{2}x^{-\frac{2}{3}}+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} \int \frac{x\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{x^{2}}dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , ale najpierw przekształcimy funkcję podcałkową do innej postaci:

$\dpi{120} \int \frac{x\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{x^{2}}dx=\int \frac{x\cdot x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{2}}dx=\int \frac{x^{\frac{4}{3}}+x^{\frac{1}{4}}}{x^{2}}dx=\int \left (x^{\frac{4}{3}-2}+x^{\frac{1}{4}-2} \right )dx=$

$\dpi{120} =\int \left ( x^{-\frac{2}{3}} +x^{-\frac{7}{4}}\right )dx=\frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1}+\frac{x^{-\frac{7}{4}+1}}{-\frac{7}{4}+1}+C=3x^{\frac{1}{3}}-\frac{4}{3}x^{-\frac{3}{4}}+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} \int \frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x^{2}}+4\sqrt[4]{5x^{3}}}{6\sqrt[3]{x}}dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , ale najpierw przekształcimy funkcję podcałkową do innej postaci:

$\dpi{120} \int \frac{\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x^{2}}+4\sqrt[4]{5x^{3}}}{6\sqrt[3]{x}}dx=\int \frac{x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{2}{3}}+4\sqrt[4]{5}\cdot x^{\frac{3}{4}}}{6x^{\frac{1}{3}}}dx=$

$\dpi{120} =\int \left ( \frac{1}{6} x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}-\frac{2}{6}x^{\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}+\frac{4\sqrt[4]{5}}{6}x^{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}\right )dx=$

$\dpi{120} =\int \left ( \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}} -\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}}+\frac{2\sqrt[4]{5}}{3}x^{\frac{5}{12}}\right )dx=$

$\dpi{120} =\frac{1}{6}\cdot \frac{x^{\frac{1}{6}+1}}{\frac{1}{6}+1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+\frac{2\sqrt[4]{5}}{3}\cdot \frac{x^{\frac{5}{12}+1}}{\frac{5}{12}+1}+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{7}x^{\frac{7}{6}}-\frac{1}{4}x^{\frac{4}{3}}+\frac{2\sqrt[4]{5}}{3}\cdot \frac{12}{17}x^{\frac{17}{12}}+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} \int \left ( x^{2}+2 \right )^{3}dx,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ , ale najpierw przekształcimy funkcję podcałkową do innej postaci. Zastosujmy wzór $\dpi{120} \left ( x+y \right )^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$ :

$\dpi{120} \int \left ( x^{2}+2 \right )^{3}dx=\int \left ( x^{6}+6x^{4}+12x^{2}+8 \right )dx=$

$\dpi{120} =\frac{x^{7}}{7}+6\cdot \frac{x^{5}}{5}+12\cdot \frac{x^{3}}{3}+8x+C=$

$\dpi{120} =\frac{1}{7}x^{7}+\frac{6}{5}x^{5}+4x^{3}+8x+C.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} \int tg^{2}x\, dx,$

Rozwiązanie

Ze szkoły średniej wiemy, że $\dpi{120} tgx=\frac{\sin x}{\cos x}$ . Zatem:

$\dpi{120} \int tg^{2}x\, dx=\int \frac{\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}\, dx=$

Wykorzystujemy jedynkę trygonometryczną $\dpi{120} \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ . Mamy:

$\dpi{120} =\int \frac{1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}\, dx=$

Rozdzielamy ułamek $\dpi{120} \frac{1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}$ na sumę dwóch ułamków: $\dpi{120} \frac{1}{\cos ^{2}x}-\frac{ \cos ^{2}x}{ \cos ^{2}x}$

$\dpi{120} =\int \left (\frac{1}{\cos ^{2}x}-\frac{ \cos ^{2}x}{ \cos ^{2}x} \right )dx=\int \left (\frac{1}{\cos ^{2}x}-1 \right )dx$

Wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \int \frac{1}{\cos ^{2}x}dx=tg\, x+c$ . Zatem:

$\dpi{120} \int tg^{2}x\, dx=tg\, x-x+c$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

9) $\dpi{120} \int\frac{\cos 2x}{ \cos x-\sin x}dx,$

Rozwiązanie

Ze wzoru $\dpi{120} \cos 2x= \cos ^{2}x-\sin ^{2}x$ mamy:

$\dpi{120} \int\frac{\cos 2x}{ \cos x-\sin x}dx=\int\frac{\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}{ \cos x-\sin x}dx=$

W liczniku wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ .

$\dpi{120} =\int\frac{\left ({\color{Blue} \cos x-\sin x } \right )\left ( \cos x+\sin x \right )}{ {\color{Blue} \cos x-\sin x}}dx=\int \left ( \cos x+\sin x \right )dx=$

Ze wzorów $\dpi{120} \int \cos x\, dx=\sin x+c$ i $\dpi{120} \int \sin x\, dx=-\cos x+c$ mamy:

$\dpi{120} =\sin x-\cos x+c$

Czyli:

$\dpi{120} \int\frac{\cos 2x}{ \cos x-\sin x}dx-\sin x-\cos x+c$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

10) $\dpi{120} \int\frac{\cos 2x}{ \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x}dx.$

Rozwiązanie

Ze wzoru $\dpi{120} \cos 2x= \cos ^{2}x-\sin ^{2}x$ mamy:

$\dpi{120} \int\frac{\cos 2x}{ \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x}dx=\int\frac{\cos ^{2}x-\sin ^{2}x}{ \sin ^{2}x\cdot \cos ^{2}x}dx=$

Funkcję podcałkową zapisujemy jako sumę dwóch ułamków:

$\dpi{120} =\int \left (\frac{{\color{Blue} \cos ^{2}x}}{\sin ^{2}x\cdot{\color{Blue} \cos ^{2}x} }-\frac{{\color{Red} \sin ^{2}x}}{{\color{Red} \sin ^{2}x}\cdot \cos ^{2}x} \right )dx=$