Zbieżność szeregów (wzory) - WYZNACZNIK

SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH

Aby łatwiej było badać zbieżności szeregów, podzielimy je na cztery podstawowe grupy.

GRUPA I (kryterium d’Alemberta)

Jeżeli wyrazy szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ są dodatnie oraz istnieje granica

$kryterium d'alemberta$

to szereg ten jest:

– zbieżny, gdy $\dpi{120} g<1,$

– rozbieżny, gdy $\dpi{120} g>1.$

Pokaż kryterium

Zwiń

Zaliczymy tu szeregi o wyrazie ogólnym, w którym występuje tzw. silnia, np.

$\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{2^{n}},\: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{3^{n}\left ( n+1 \right )!}{5^{n}},\: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( 2n \right )!\cdot 5^{n+2}}{\left ( n! \right )^{2}}.$

GRUPA II (kryterium Cauchy’ego)

Jeżeli wyrazy szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ są nieujemne oraz istnieje granica

$kryterium Cauchy'ego$

to szereg ten jest:

– zbieżny, gdy $\dpi{120} g<1,$

– rozbieżny, gdy $\dpi{120} g>1.$

Pokaż kryterium

Zwiń

Zaliczamy szeregi o wyrazie ogólnym, w którym występują potęgi o wykładniku n (również bardziej rozbudowane), ale nie występuje silnia, np.

$\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{3}}{5^{n}},\: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n^{45}\cdot 22^{n}}{100^{n}},\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left ( n+1 \right )\cdot 2^{n}}{3^{n+2}\cdot 7^{n}}.$

GRUPA III (kryterium porównawcze zwane również ilorazowym)

Jeżeli wyrazy szeregów $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ i $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ są nieujemne i istnieje granica

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{b_{n}}=k,$

oraz jeżeli

– $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ jest zbieżny, to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest również zbieżny,

– $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ jest rozbieżny, to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest również rozbieżny.

Pokaż kryterium

Zwiń

Zaliczamy szeregi, w których występują funkcje sinus i tangens, np.

$\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\sin \frac{1}{n},\: \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sin \frac{1}{n} tg\frac{1}{\sqrt{n}} \right ),\: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}\sin \frac{1}{n^{2}} .$

GRUPA IV (kryterium porównawcze – klasyczne)

1) Zbieżności szeregów

Jeżeli dla szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , gdzie $\dpi{120} a_{n}\geqslant 0$ , można wskazać taki szereg zbieżny $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ , że zachodzi nierówność $\dpi{120} a_{n}\leqslant b_{n}$ , to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest również zbieżny.

2) Rozbieżności szeregów

Jeżeli dla szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ , gdzie $\dpi{120} a_{n}\geqslant 0$ , można wskazać taki szereg rozbieżny $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }c_{n}$ , że zachodzi nierówność $\dpi{120} a_{n}\geqslant c_{n}$ , to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest również rozbieżny.

Pokaż kryterium

Zwiń

Stosujemy do szeregów, które nie jesteśmy w stanie policzyć z poprzednich kryteriów. Najczęściej mają one postać funkcji wymiernej, ale również gdy w wyrazie ogólnym występuje np. wyrażenie $\dpi{120} \sqrt{...}-\sqrt{...}$ , np.

$\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3n+4},\: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n+2}{2n^{3}-1},\: \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n}.$

W badaniu zbieżności szeregów należy jeszcze pamiętać o tzw. warunku koniecznym zbieżności. Zwrócimy na niego uwagę w zadaniach.

Jeśli szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny, to ciąg wyrazów tego szeregu dąży do zera, tzn.

$warunek konieczny zbieżności szeregów$

Pokaż warunek konieczny

Zwiń

SZEREGI PRZEMIENNE

Schemat badania zbieżności szeregu przemiennego $szereg przemienny$ :

1. Badamy zbieżność bezwzględną, tzn. $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left |\left ( -1 \right )^{n}a_{n} \right |=\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ . Sprowadza się to do badania szeregów z poprzednio podanych kryteriów.

a) Jeżeli $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest zbieżny, to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n}$ jest zbieżny bezwzględnie. Koniec zadania.

b) Jeżeli $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ jest rozbieżny, to badamy tzw. zbieżność warunkową szeregu $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n}.$ Przechodzimy

do punktu 2..

2. Stosujemy kryterium Leibnitza (patrz Teoria), tzn. liczymy granicę $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}$ . Jeżeli:

a) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}=0,$ to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n}$ jest zbieżny warunkowo. Koniec zadania.

b) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}\neq 0,$ to szereg $\dpi{120} \sum_{n=1}^{\infty }\left ( -1 \right )^{n}a_{n}$ jest rozbieżny. Koniec zadania.

Zapraszamy do zadań! tutaj