Pamiętajmy, że sama reguła de l’Hospitala odnosi się jedynie do symboli nieoznaczonych oraz . Wiemy już, że tych wyrażeń nieoznaczonych jest więcej (patrz Granice ciągów – teoria). Liczenie granic zawierających symbole nieoznaczone podzielimy na cztery grupy, do których podane zostaną schematy rozwiązań. Grupa I ( , ) Schemat rozwiązania na przykładzie: . Grupa II ( Read more about Reguła de l’Hospitala – wzory[…]
Przy liczeniu granic funkcji mogą pojawić się symbole nieoznaczone. Niektóre liczyliśmy już w temacie Granice funkcji tutaj. Jednak czasami nie potrafimy pozbyć się symbolu nieoznaczonego bez zastosowania tzw. reguły de l’Hospitala. Możemy również stosować ją zamiennie do innych metod. Jak komu wygodniej. Twierdzenie 1. (reguła de l’Hospitala) Jeżeli w punkcie jest wyrażeniem nieoznaczonym typu lub Read more about Reguła de l’Hospitala – teoria[…]
Mamy 4 zadania. W pierwszym liczymy ekstrema różnych funkcji według schematu podanego w zakładce Wzory tutaj. Jest to najbardziej powszechne zadanie na kolokwiach. Zadania pozostałe są zadaniami z treścią. Zadanie 3 jest najtrudniejsze i najdłuższe, ale zachęcam do przestudiowania go. Zadanie 1. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: 4) Zadanie 2. Znaleźć współczynniki trójmianu takie, aby Read more about Ekstrema lokalne funkcji – zadania[…]
Ekstrema lokalne funkcji różniczkowalnych znajdujemy w następujący sposób: Krok 1. Wyznaczamy pochodną funkcji i jej miejsca zerowe (punkty stacjonarne), są to tzw. punkty podejrzane o ekstremum. (twierdzenie 1, zakładka Teoria) Krok 2. Badamy znak pochodnej funkcji w otoczeniu wyznaczonych punktów stacjonarnych. Krok 3. Korzystając z twierdzenia 2, zakładka Teoria ustalamy, czy w danym punkcie stacjonarnym Read more about Ekstrema lokalne funkcji – wzory[…]
Mówimy, że funkcja ma minimum (maksimum) lokalne w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba taka, że dla każdego zachodzi nierówność (odpowiednio ). Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji. Twierdzenie 1. (warunek konieczny ekstremum) Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to Punkt , dla Read more about Ekstrema lokalne funkcji – teoria[…]
Warto zapoznać się z zakładką Wzory tutaj i Teoria tutaj. Zadanie 1. Zbadać monotoniczność funkcji: 2) Zadanie 2. Znaleźć przedziały, na których wykres funkcji jest wypukły bądź wklęsły oraz wyznaczyć punkty przegięcia tego wykresu. Zadanie 3. Znaleźć asymptoty funkcji:
MONOTONICZNOŚĆ Aby określić monotoniczność funkcji badamy zachowanie jej pochodnej. Jeżeli: a) to funkcja jest rosnąca, b) to funkcja jest malejąca, c) to funkcja jest stała. WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ Aby określić wklęsłość (wypukłość) funkcji badamy zachowanie jej drugiej pochodnej. Jeżeli: a) , to krzywa jest wklęsła ””, b) , to krzywa jest wypukła ””. PUNKTY PRZEGIĘCIA Read more about Monotoniczność i asymptoty funkcji – wzory[…]
Omówimy tutaj dwa zastosowania pochodnej funkcji, a mianowicie monotoniczność funkcji oraz wklęsłość i wypukłość funkcji. Dodatkowo powiemy o asymptotach funkcji. MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI Twierdzenie 1. Jeżeli jest różniczkowalna w pewnym przedziale oraz dla każdego : a) to funkcja jest rosnąca w , b) to funkcja jest malejąca w , c) to funkcja jest stała w . Read more about Monotoniczność i asymptoty funkcji – teoria[…]
Mamy 6 zadań. W zadaniu 1 i 2 liczymy pochodne z definicji. W zadaniu 3 liczymy pochodne ze wzorów przedstawionych w zakładce Wzory tutaj. Kolejność podpunktów jest znacząca: od łatwych do trudnych. Zadanie 4 to tzw. pochodne logarytmiczne. Zupełnie inny schemat dlatego przedstawiony w oddzielnym zadaniu. W zadaniu 5 i 6 przedstawiamy podstawowe zastosowanie pochodnej Read more about Pochodna funkcji – zadania[…]
Pochodne funkcji elementarnych: pochodna funkcji stałej, – dowolna stała rzeczywista, , Podane wyżej wzory na pochodne funkcji elementarnych oznaczają, że funkcje te są różniczkowalne w swych dziedzinach. Pochodna Read more about Pochodna funkcji – wzory[…]