Niech będzie funkcją określoną na pewnym otoczeniu punktu . Symbolem oznaczamy przyrost zmiennej , który może być dodatni albo ujemny, lecz różny od zera i taki, że Iloraz nazywamy ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu zmiennej . DEFINICJA Jeżeli iloraz różnicowy ma granicę właściwą, gdy dąży do zera, to granicę tę nazywamy pochodną Read more about Pochodna funkcji – teoria[…]
Zanim przejdziemy do zadań należy zapoznać się z zakładką Wzory do tego tematu. tutaj Znajdują się tam wszystkie potrzebne wzory, jak również tabele niezbędne do znajdowania postaci trygonometrycznej. Podany jest również algorytm sprowadzania liczby zespolonej do postaci trygonometrycznej. Zadanie 1. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: W zadaniu korzystamy ze wzoru na postać trygonometryczną liczby Read more about Postać trygonometryczna liczb zespolonych-zadania[…]
– postać algebraiczna liczby zespolonej – postać trygonometryczna liczb zespolonych gdzie – moduł liczby zespolonej Z zależności tych wyliczamy kąt – tzw. argument główny liczby zespolonej. Będą nam potrzebne następujące wiadomości poznane w szkole średniej: Tabela znaków funkcji i I ćw. II ćw. III ćw. IV ćw. + + – – + – – + Read more about Postać trygonometryczna liczb zespolonych-wzory[…]
Mamy 6 zadań. Kolejność zadań i podpunktów w zadaniach jest istotna. Zadanie 1 pokazuje liczenie granic z podstawowych ich własności, zadania kolejne wykorzystują schematy przedstawione w zakładce Wzory tutaj dla poszczególnych grup granic. Zadanie 5 to ”mieszanka” wszystkich typów granic. Ostatnie zadanie 6 to badanie ciągłości funkcji. Granice z zastosowaniem reguły de l’Hospitala znajdziemy w Read more about Granice funkcji – zadania[…]
Liczenie granic funkcji (bez reguły de l’Hospitala) podzielimy na trzy podstawowe grupy. I Grupa Granice funkcji wymiernych zawierających symbol , na przykładzie : II Grupa Granice funkcji niewymiernych zawierających symbol , na przykładzie : III Grupa Granice funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem granicy Z granicy tej wynikają inne wartości granic, takie jak oraz ich uogólnienia Read more about Granice funkcji – wzory[…]
Niech i . Funkcję nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej. Zbiór nazywamy dziedziną funkcji . Załóżmy, że funkcja jest określona jest określona na pewnym sąsiedztwie punktu , czyli zbiorze gdzie jest liczbą dodatnią. GRANICA FUNKCJI (HEINEGO) Liczbę nazywamy granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu o wyrazach zbieżnego do , ciąg Read more about Granice funkcji – bez reguły de l’Hospitala -teoria[…]
Niech będzie dana liczba zespolona Modułem liczby zespolonej nazywamy liczbę rzeczywistą i oznaczamy , czyli: Każdą liczbę zespoloną możemy przedstawić w postaci: Zauważmy, że: Istnieje, więc liczba rzeczywista taka, że gdyż Otrzymujemy stąd następującą postać liczby zespolonej zwaną postacią trygonometryczną liczby zespolonej. Każdą liczbę rzeczywistą spełniającą powyższą zależność nazywamy argumentem liczby zespolonej i oznaczamy . Argument Read more about Postać trygonometryczna liczb zespolonych-teoria[…]
Mamy 6 zadań. Zostały one podzielone zgodnie z wprowadzonymi grupami w zakładce Wzory tutaj. Ostatnie zadanie jest „mieszanką” wszystkich typów szeregów. Najpierw należy je sklasyfikować, a następnie wybrać odpowiedni schemat. Dlatego zaleca się rozwiązywanie zadań (i podpunktów w zadaniach) w kolejności podanej na stronce. Zadanie 1 jest ambitniejsze i badamy w nim zbieżność szeregów z Read more about Szeregi liczbowe – zadania[…]
SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH Aby łatwiej było badać zbieżności szeregów, podzielimy je na cztery podstawowe grupy. GRUPA I (kryterium d’Alemberta) Zaliczymy tu szeregi o wyrazie ogólnym, w którym występuje tzw. silnia, np. GRUPA II (kryterium Cauchy’ego) Zaliczamy szeregi o wyrazie ogólnym, w którym występują potęgi o wykładniku n (również bardziej rozbudowane), ale nie Read more about Szeregi liczbowe – wzory[…]
Niech będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych. Szeregiem o wyrazach rozumiemy wyrażenie które zapisujemy również jako . Ciągiem sum częściowych szeregu nazywamy ciąg , którego n-ty wyraz określony jest wzorem Liczba nazywa się również n-tą sumą częściową szeregu . W przypadku, gdy ciąg sum częściowych szeregu ma granicę (skończoną lub nie), to granicę tę nazywamy sumą Read more about Szeregi liczbowe – teoria[…]