Autor: Joanna Piasecka

Całkowanie przez podstawienie – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Przy całkowaniu przez podstawienie najważniejszym i najtrudniejszym krokiem jest poprawne dobranie podstawienia, które sprowadzi całkę do całki łatwiejszej. Mając odpowiednie podstawienie zadanie staje się bardzo schematyczne. Pamiętajmy, że podstawienie powinno być jak najprostsze. Nigdy nie podstawiamy za funkcję złożoną. Schemat podamy rozwiązując kolejne przykłady. Zadanie 1. Obliczyć całki (przez podstawienie): 3) 6) 7) 8) 9) Read more about Całkowanie przez podstawienie – zadania[…]

Całka nieoznaczona – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Funkcję nazywamy funkcją pierwotną funkcji na przedziale , jeśli dla każdego spełniony jest warunek: Twierdzenie 1. (o funkcjach pierwotnych) Jeśli jest funkcją pierwotną na przedziale , to:  funkcja , gdzie oznacza dowolna stałą, jest także funkcją pierwotną funkcji na przedziale , każdą funkcję pierwotną funkcji na przedziale , można przedstawić w postaci sumy , gdzie Read more about Całka nieoznaczona – teoria[…]

Szereg Taylora – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

W temacie tym nie ma zakładki wzory, gdyż teoria jest krótka tutaj. Na szczególną uwagę zasługują podpunkty 1), 2), 3) z zadania 1. Są to rozwinięcia, które należy znać na pamięć (końcowe rozwinięcie). Przydadzą się nie tylko na matematyce, ale również na innych przedmiotach. Kolejność zadań i podpunktów w zadaniach jest istotna. Niektóre podpunkty wykorzystują Read more about Szereg Taylora – zadania[…]

Szereg Taylora – teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Twierdzenie 1. (wzór Taylora) Jeżeli funkcja ma ciągłe pochodne do rzędu  włącznie na pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt , wówczas dla każdego z tego przedziału istnieje taki punkt , leżący pomiędzy i że W ostatnim wyrazie występuje liczba , której wartość jest na ogół inna dla każdego oraz . Wyraz ten oznaczamy : i nazywamy Read more about Szereg Taylora – teoria[…]

Pierwiastkowanie liczb zespolonych-zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Mamy 3 zadania. W zadaniu 1 liczymy pierwiastki ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej. Dlatego ważną rzeczą jest, aby zapoznać się z zakładką Wzory tutaj, gdyż podane są tam wszystkie niezbędne wzory i wskazówki ułatwiające liczenie.   Zadanie 1. Oblicz pierwiastki: W zadaniu wykorzystujemy wzór: c)  W kolejnym zadaniu liczymy wyłącznie pierwiastki kwadratowe, które przydadzą Read more about Pierwiastkowanie liczb zespolonych-zadania[…]

Pierwiastkowanie liczb zespolonych-wzory

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech . Pierwiastki -tego stopnia liczby zespolonej  mają postać: gdzie: – moduł liczby zespolonej, – kąt, tzw. argument główny liczby zespolonej, obliczamy z zależności: Potrzebne wszystkie fakty z wcześniejszych zakładek Wzory tutaj z działu Liczby zespolone. Algorytm liczenia pierwiastka stopnia  liczby zespolonej  Zapraszamy do zadań! tutaj

Pierwiastkowanie liczb zespolonych-teoria

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Niech . Pierwiastkiem stopnia -tego liczby zespolonej  nazywamy każdą liczbę zespoloną  o tej własności, że  Na podstawie wzoru de Moivre’a mamy, że: Ostatnia równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy: oraz: Tak więc pierwiastki -tego stopnia liczby zespolonej  mają postać: Pamiętajmy, zawsze istnieje dokładnie  różnych pierwiastków stopnia  z liczby zespolonej  Nie zawsze daje się w sposób dokładny (bez przybliżeń) obliczyć pierwiastki z powyższego wzoru. Read more about Pierwiastkowanie liczb zespolonych-teoria[…]

Reguła de l’Hospitala – zadania

Data wpisu przez Joanna Piasecka

Zadania będą podzielone zgodnie z grupami wprowadzonymi w zakładce Wzory tutaj. W ostatnim zadaniu będzie ”mieszanka” wszystkich grup, aby móc samodzielnie klasyfikować poszczególne granice. Zaleca się przestudiowanie zakładki Wzory, gdyż znajdują się tam schematy rozwiązań dla każdej grupy granic funkcji.   Zadanie 1. Stosując regułę de l’Hospitala obliczyć granice (grupa I tutaj): 2) Zadanie 2. Read more about Reguła de l’Hospitala – zadania[…]