Zbiory – zadania

Przed rozpoczęciem rozwiązywania zadań warto zapoznać się z definicjami i własnościami dotyczącymi rachunku zbiorów w zakładce Teoria tutaj lub w skróconej wersji w zakładce Wzory tutaj. W rozwiązaniach zadań będzie wykorzystywana wiedza z zakresu praw logicznych, zob. tutaj. Zadanie 1. Dane są przedziały: . Wyznaczyć zbiory: 1) 2)  3)  4)  Zadanie 2. Dowieść następujących praw Read more about Zbiory – zadania[…]

Zbiory – wzory

Zbiory Suma zbiorów:                     Iloczyn zbiorów:                   Różnica zbiorów:                  Różnica symetryczna:            Kwantyfikatory: 1) ogólny – – czyt. dla każdego spełniona jest funkcja zdaniowa 2) szczegółowy –  – czyt. istnieje , dla którego spełniona jest funkcja zdaniowa   Uogólniona suma zbiorów:             Uogólniony iloczyn zbiorów:           Zapraszamy do zadań! tutaj    

Zbiory – teoria

Sumą zbiorów  i  nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru  lub należą do zbioru . Oznaczamy . Zatem: Iloczynem zbiorów (częścią wspólną)  i  nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru  i należą do zbioru . Oznaczamy . Zatem: Różnicą zbiorów   i  nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru  i nie należą do Read more about Zbiory – teoria[…]

Logika matematyczna – zadania

Przed rozpoczęciem rozwiązywania zadań warto zapoznać się z tabelami poszczególnych funktorów. Bardziej szczegółowe informacje w zakładce  Teoria tutaj, tabele zerojedynkowe w zakładce Wzory tutaj. Zadanie 1. Wyznacz wartość logiczną formuły przy podstawieniu p=0, q=1: 1) 2)  3)  4)  Zadanie 2. Wyznaczyć wartość logiczną formuły przy podstawieniu p=1, q=1, r=0: 1)  2)  3)  Zadanie 3. Ocenić Read more about Logika matematyczna – zadania[…]

Logika matematyczna – teoria

Zdaniem w logice matematycznej nazywamy wypowiedź oznajmującą i taką,  której możemy przypisać ocenę: prawda lub fałsz . (stosując znaną wiedzę w ramach danej dziedziny) oznacza zdanie prawdziwe, zaś zdanie fałszywe. Funktor jednoargumentowy 1) ~ – negacja (zaprzeczenie) Funktory dwuargumentowe 1)  – alternatywa 2) – koniunkcja 3)  – implikacja (wynikanie) 4) – równoważność Tabele zerojedynkowe negacja Read more about Logika matematyczna – teoria[…]

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – wzory

Mnożniki Lagrange’a – schemat Ekstremum warunkowe funkcji przy warunku 1. Tworzymy funkcję 2. Liczymy pochodne cząstkowe . 3. Rozwiązujemy układ równań (warunek konieczny): 4. Po rozwiązaniu otrzymujemy tzw. punkty stacjonarne . 5. Liczymy pochodne cząstkowe . 6. Liczymy wartości powyższych pochodnych w punktach stacjonarnych.  7. Badamy znak tzw. Hesjanu obrzeżonego w każdym punkcie stacjonarnym: 8. Jeżeli: Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – wzory[…]

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – zadania

W zadaniu 1 znajdujemy ekstrema warunkowe bez użycia mnożników Lagrange’a. Sprowadza się to do badania ekstremum lokalnego funkcji jednej zmiennej. W zadaniu drugim wprowadzamy mnożniki Lagrange’a. Pojawia się tzw. Hesjan obrzeżony. Jest to inna metoda znajdowania ekstremów warunkowych. Schemat badania ekstremum warunkowego znajdziemy w zakładce Wzory tutaj. Warto również zajrzeć do zakładki Teoria tutaj. Zadania Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – zadania[…]

Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – teoria

Niech  oznacza niepusty i otwarty podzbiór przestrzeni , funkcje  i  zmiennych  i  będą określone i ciągłe na . DEFINICJA Mówimy, że funkcja osiąga w punkcie maksimum (minimum) warunkowe, przy warunku (*)                                                         jeżeli punkt spełnia równanie (*) oraz istnieje takie otoczenie punktu , że dla każdego punktu spełniającego warunek (*) zachodzi nierówność MNOŻNIKI LAGRANGE’A Wprowadźmy funkcję Read more about Ekstrema warunkowe funkcji dwóch zmiennych – teoria[…]

Dizałanie matematyczne

Ciało – teoria

DEFINICJA Pierścień  nazywamy ciałem, jeśli spełnia następujące warunki: 1)   zawiera więcej niż jeden element, 2) jest grupą względem mnożenia w . Jedność grupy  względem mnożenia nazywamy jednością ciała . Oznaczmy ją przez . Pierścień  z jednością , zawierający więcej niż jeden element jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego różny od zera Read more about Ciało – teoria[…]