Granice ciągów (teoria) - WYZNACZNIK

Odwzorowanie $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$ zbioru liczb naturalnych $\mathbb{N}$ w zbiór liczb rzeczywistych $R$ nazywamy ciągiem nieskończonym o wyrazach rzeczywistych. Argument $n$ tego odwzorowania nazywamy wskaźnikiem, a wartość $f\left ( x \right )$ odwzorowania odpowiadającą wskaźnikowi $n$ nazywamy $n$ – tym wyrazem ciągu i oznaczamy zwykle symbolem $a_{n}$ , ciąg zaś oznaczamy $\left ( a_{n} \right )$ lub $\left ( a_{1},a_{2},...,a_{n},... \right )$ . Dla określenia ciągu wystarczy podać wzór na $n$ – ty wyraz.

Przykłady ciągów

1. ciąg odwrotności liczb naturalnych

$\left ( 1,\frac{1}{2} ,\frac{1}{3},...,\frac{1}{n},...\right )$ 2. ciąg arytmetyczny o wyrazie początkowym $a$ i różnicy $r$

$ciąg arytmetyczny$ 3. ciąg geometryczny o wyrazie początkowym $\dpi{120} a$ i ilorazie $\dpi{120} q$

$ciąg geometryczny$

Mówimy, że ciąg $\left ( a_{n} \right )$ jest:

a) rosnący (silnie rosnący)	$\Leftrightarrow$	$a_{n+1}-a_{n}>0$	dla każdego $n\in \mathbb{N}$
b) niemalejący (słabo rosnący)	$\Leftrightarrow$	$a_{n+1}-a_{n}\geqslant 0$	dla każdego $n\in \mathbb{N}$
c) malejący (silnie malejący)	$\Leftrightarrow$	$a_{n+1}-a_{n}<0$	dla każdego $n\in \mathbb{N}$
d) nierosnący (słabo malejący)	$\Leftrightarrow$	$a_{n+1}-a_{n}\leqslant 0$	dla każdego $n\in \mathbb{N}$
e) stały	$\Leftrightarrow$	$a_{n+1}-a_{n}=0$	dla każdego $n\in \mathbb{N}$ .

Ciągiem monotonicznym nazywamy ciąg, który jest niemalejący lub nierosnący. Ciągi rosnące i malejące nazywamy ciągami ściśle monotonicznymi.

Ciąg $\left ( a_{n} \right )$ nazywamy ograniczonym, jeśli istnieje liczba $M$ taka, że

$\inline \left | a_{n} \right |\leq M$ dla każdego $\inline n\in N$ .

Otoczeniem liczby $\dpi{120} g$ o promieniu $\varepsilon$ nazywamy przedział otwarty $\left ( g-\varepsilon ,g+\varepsilon \right )$ .

Definicja granicy ciągu

Liczbę $g$ nazywamy granicą ciągu $\left ( a_{n} \right )$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$granica ciągu$ $\left | a_{n}-g \right |<\varepsilon$

co oznaczamy $\dpi{120} g=\lim_{n \to \infty }a_{n}$ .

Liczba $\dpi{120} g$ jest granicą ciągu $\dpi{120} \left ( a_{n} \right )$ , jeśli w dowolnym otoczeniu liczby $\dpi{120} g$ o promieniu $\dpi{120} \varepsilon$ znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu $\dpi{120} \left ( a_{n} \right )$ . Zwrot prawie wszystkie wyrazy mają pewną własność jest równoważny stwierdzeniu, iż własność tę mają wszystkie wyrazy począwszy od pewnego miejsca. Jeszcze inaczej, wszystkie wyrazy z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby elementów.

Ciąg mający granicę nazywamy ciągiem zbieżnym, a ciąg nie mający granicy nazywamy rozbieżnym. Zachodzi twierdzenie:

Twierdzenie 1

Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Nie jest natomiast prawdziwe twierdzenie odwrotne. Istnieją bowiem ciągi ograniczone, które nie są zbieżne, np. ciąg o wyrazach $\dpi{120} a_{n}=\left ( -1 \right )^{n}=\left ( -1,1,-1,1,... \right )$ , zawarty w przedziale $\dpi{120} \left \langle -1;1 \right \rangle$ , nie jest ciągiem zbieżnym.

Zachodzi kolejne twierdzenie nazywane również kryterium zbieżności ciągów:

Twierdzenie 2

Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest ciągiem zbieżnym.

W szczególnym przypadku mamy, że: jeżeli $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}=0$ oraz ciąg $\dpi{120} \left ( b_{n} \right )$ jest ograniczony, to

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}\cdot b_{n}=0.$

Wśród ciągów nie mających granicy (rozbieżnych) wyróżniamy te, które są rozbieżne do $\dpi{120} -\infty$ lub $\dpi{120} +\infty$ . Mówimy o nich, że mają granicę niewłaściwą.

Do wyznaczania granic będziemy korzystać z twierdzeń:

Twierdzenie 3

Jeżeli ciągi $\dpi{120} \left ( a_{n} \right )$ i $\dpi{120} \left ( b_{n} \right )$ są zbieżne oraz $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}=a$ i $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }b_{n}=b$ , to:

a) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( a_{n}+b_{n} \right )=a+b$

b) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( a_{n}-b_{n} \right )=a-b$

c) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( a_{n}\cdot b_{n} \right )=a\cdot b$

d) $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( a_{n}:b_{n} \right )=a:b$ gdy $\dpi{120} b_{n}\neq 0$ dla każdego $\dpi{120} n$ oraz $\dpi{120} b\neq 0$ .

Twierdzenie 4 (o trzech ciągach)

Jeżeli $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}=\lim_{n \to \infty }b_{n}=g$ i dla prawie wszystkich $\dpi{120} n$ spełniony jest warunek $\dpi{120} a_{n}\leqslant c_{n}\leqslant b_{n}$ to $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }c_{n}=g$ .

Przy stosowaniu twierdzenia o trzech ciągach często używa się:

1. $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{c}=1$ gdy $\dpi{120} c>0$

2. $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1$

3. $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{W_{m}\left ( n \right )}=1$ gdzie $\dpi{120} W_{m}\left ( n \right )$ oznacza wielomian dowolnego stopnia $\dpi{120} m$ .

Twierdzenie 5. (liczba $\dpi{120} e$ )

Jeżeli $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }a_{n}=\pm \infty$ , to $liczba e$ .

W szczególności $\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}=e$ . Liczba $\dpi{120} e$ jest tzw. liczbą Eulera ( $\dpi{120} e=2,71828$ ), jest używana do opisu wielu zjawisk przyrodniczych, ekonomicznych, a także w statystyce. Warto również zapamiętać, że

$\dpi{120} \lim_{n \to \infty }\left ( 1-\frac{1}{a_{n}} \right )^{a_{n}}=e^{-1}.$ Jest jeszcze wiele innych uogólnień granic z liczbą $\dpi{120} e$ , ale lepiej z nich nie korzystać. Nie jest to mile widziane przez wykładowców.

Przy wyznaczaniu granic ciągów rozbieżnych będziemy korzystać z twierdzeń, które symbolicznie można zapisać w następujący sposób:

Twierdzenie 6.

a) $\dpi{120} +\infty +\left ( +\infty \right )=+\infty$	f) $\dpi{120} \left (-\infty \right ) \cdot \left ( +\infty \right )=-\infty$
b) $\dpi{120} -\infty +\left ( -\infty \right )=-\infty$	g) $\dpi{120} a +\left ( \pm \infty \right )=\pm \infty +a=\pm \infty$
c) $\dpi{120} -\infty -\left ( +\infty \right )=-\infty$	h) $\dpi{120} a>0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\cdot \left ( \pm \infty \right )=\pm \infty \\ \left ( \pm \infty \right ):a=\pm \infty \end{matrix}\right.$
d) $\dpi{120} +\infty \cdot \left ( +\infty \right )=+\infty$	i) $\dpi{120} a<0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a\cdot \left ( \pm \infty \right )=\mp \infty \\ \left ( \pm \infty \right ):a=\mp \infty \end{matrix}\right.$
e) $\dpi{120} +\infty \cdot \left ( -\infty \right )=\left ( -\infty \right )\cdot \left ( +\infty \right )=-\infty$	j) $\dpi{120} \frac{a}{\pm \infty }=0$ .

Uwaga! Podane w powyższym twierdzeniu wzory zostały zapisane w sposób skrócony i np. zapis e) czytamy: „iloczyn dwóch ciągów: rozbieżnego do $\dpi{120} +\infty$ i rozbieżnego do $\dpi{120} -\infty$ , jest ciągiem rozbieżnym do $\dpi{120} -\infty$ ”.

Twierdzenie to nie wyczerpuje wszystkich przypadków jakie mogą zaistnieć w wyniku działań na ciągach rozbieżnych. Nie można bowiem nic powiedzieć o zbieżności ciągów, gdy przy wyznaczaniu granicy ciągu otrzymujemy jedno z tzw. wyrażeń nieoznaczonych (symboli nieoznaczonych):

$symbole nieoznaczone$

W każdym z tych przypadków należy uwolnić się od wyrażenia nieoznaczonego, stosując odpowiednie przekształcenia, które pokażemy na przykładach.

Zapraszamy do zadań! tutaj