Wzajemne położenie płaszczyzn (zadania)

Mamy 3 zadania. Wykorzystujemy w nich wzory na odległość płaszczyzn równoległych, kąt miedzy płaszczyznami. Patrz zakładka Wzory tutaj lub Teoria tutaj. W zadaniu 3 mamy pośrednio pokazane jak przejść od postaci parametrycznej równania płaszczyzny do postaci ogólnej równania płaszczyzny. Cały czas potrzebna jest wiedza dotycząca iloczynu wektorowego i skalarnego. tutaj

Zadanie 1. Obliczyć odległość płaszczyzn $\dpi{120} \large \pi _{1}$ i $\dpi{120} \large \pi _{2}$ :

1) $\dpi{120} \pi _{1}:\; 3x+2y-z+5=0,\; \pi _{2}:\; -6x-4y+2z-4=0,$

Rozwiązanie

Są to płaszczyzny równoległe, gdyż spełniony jest warunek $\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$ :

$\dpi{120} \frac{3}{-6}=\frac{2}{-4}=\frac{-1}{2}$

Aby móc skorzystać ze wzoru:

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}$

należy przekształcić równania płaszczyzn tak, aby współczynnik przy zmiennej $\dpi{120} z$ był równy $\dpi{120} 1$ .

Zatem:

$\dpi{120} \pi _{1}:\; 3x+2y-z+5=0/:\left ( -1 \right )$

$\dpi{120} -3x-2y+z-5=0$

$\dpi{120} \pi _{2}:\; -6x-4y+2z-4=0/:2$

$\dpi{120} -3x-2y+z-2=0$

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}=\frac{\left | -5-\left ( -2 \right ) \right |}{\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+\left ( -2 \right )^{2}+1}}=\frac{3}{\sqrt{14}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \pi _{1}:\; x-4y+2z+5=0,\; \pi _{2}:\; 3x-12y+6z-1=0,$

Rozwiązanie

Są to płaszczyzny równoległe, gdyż spełniony jest warunek $\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$ :

$\dpi{120} \frac{1}{3}=\frac{-4}{-12}=\frac{2}{6}$

Aby móc skorzystać ze wzoru:

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}$

należy przekształcić równania płaszczyzn tak, aby współczynnik przy zmiennej $\dpi{120} z$ był równy $\dpi{120} 1$ .

Zatem:

$\dpi{120} \pi _{1}:\; x-4y+2z+5=0/:2$

$\dpi{120} \frac{1}{2}x-2y+z+\frac{5}{2}=0$

$\dpi{120} \pi _{2}:\; 3x-12y+6z-1=0/:6$

$\dpi{120} \frac{1}{2}x-2y+z-\frac{1}{6}=0$

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}=\frac{\left | \frac{5}{2}-\left ( -\frac{1}{6} \right ) \right |}{\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( -2 \right )^{2}+1}}=\frac{\frac{8}{3}}{\sqrt{\frac{21}{4}}}=\frac{16}{3\sqrt{21}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} \pi _{1}:\; -x-5y+2z-1=0,\; \pi _{2}:\; 2x+10y-4z-3=0.$

Rozwiązanie

Są to płaszczyzny równoległe, gdyż spełniony jest warunek $\dpi{120} \frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$ :

$\dpi{120} \frac{-1}{2}=\frac{-5}{10}=\frac{2}{-4}$

Aby móc skorzystać ze wzoru:

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}$

należy przekształcić równania płaszczyzn tak, aby współczynnik przy zmiennej $\dpi{120} z$ był równy $\dpi{120} 1$ .

Zatem:

$\dpi{120} \pi _{1}:\; -x-5y+2z-1=0/:2$

$\dpi{120} -\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}y+z-\frac{1}{2}=0$

$\dpi{120} \pi _{2}:\; 2x+10y-4z-3=0/:\left (-4 \right )$

$\dpi{120} -\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}y+z+\frac{3}{4}=0$

Wstawiając do wzoru otrzymujemy:

$\dpi{120} d\left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{\left | D_{1}-D_{2} \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+1}}=\frac{\left | -\frac{1}{2}-\frac{3}{4} \right |}{\sqrt{\left ( -\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( -\frac{5}{2} \right )^{2}+1}}=\frac{\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{30}{4}}}=\frac{5}{2\sqrt{30}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. W zależności od parametru $\dpi{120} \large k\in \mathbb{R}$ określić wzajemne położenie płaszczyzn:

1) $\dpi{120} \pi _{1}:kx+y-z-1=0,\; \pi _{2}:x+ky+3z-k=0,\; \pi _{3}:3x-5z=0,$

Rozwiązanie

Zauważmy, że płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{3}$ nie są do siebie równoległe dla żadnego $\dpi{120} k\in \mathbb{R}$ , gdyż w $\dpi{120} \pi _{3}$ współczynnik przy zmiennej $\dpi{120} y$ jest równy $\dpi{120} 0$ , zaś w $\dpi{120} \pi _{1}$ jest równy $\dpi{120} 1$ . Zatem są to płaszczyzny przecinające się. Sprawdźmy jeszcze szczególny przypadek takich płaszczyzn, czyli czy są to płaszczyzny prostopadłe. Wówczas iloczyn skalarny ich wektorów normalnych wynosiłby zero. Mamy:

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{3}}=\left [ k,1,-1 \right ]\circ \left [ 3,0,-5 \right ]=3k+0+5=3k+5$

$\dpi{120} 3k+5=0\Rightarrow k=-\frac{5}{3}$

Zatem dla $\dpi{120} k=-\frac{5}{3}$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{3}$ są prostopadłe.

Analogicznie policzmy kiedy płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{2}$ i $\dpi{120} \pi _{3}$ są prostopadłe:

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}\circ \overrightarrow{n_{3}}=\left [ 1,k,3 \right ]\circ \left [ 3,0,-5 \right ]=3+0-15=-12\neq 0$

Stąd wniosek, że dla żadnego $\dpi{120} k\in \mathbb{R}$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{2}$ i $\dpi{120} \pi _{3}$ nie mogą być prostopadłe. Są to płaszczyzny przecinające się.

Teraz popatrzmy na płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ . Sprawdźmy czy mogą to być płaszczyzny równoległe:

$\dpi{120} \frac{k}{1}=\frac{1}{k}=\frac{-1}{3}$

Przekształcając otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} k=-\frac{1}{3}\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ \frac{1}{k}=-\frac{1}{3}\Rightarrow k=-3 \end{matrix}\right.$ – sprzeczność

Zatem płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ nie mogą być równoległe dla żadnego $\dpi{120} k\in \mathbb{R}$ .

Zobaczmy kiedy płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ będą prostopadłe:

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{2}}=\left [ k,1,-1 \right ]\circ \left [ 1,k,3 \right ]=k+k-3=2k-3$

$\dpi{120} 2k-3=0\Rightarrow k=\frac{3}{2}$

Zatem dla $\dpi{120} k=\frac{3}{2}$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ są prostopadłe.

Podsumowując, dla dowolnego $\dpi{120} k\in \mathbb{R}$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ , $\dpi{120} \pi _{2}$ i $\dpi{120} \pi _{3}$ przecinają się. W szczególnych przypadkach dla $\dpi{120} k=-\frac{5}{3}$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{3}$ są prostopadłe oraz dla $\dpi{120} k=\frac{3}{2}$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \pi _{1}:3x+2y+kz-2=0,\; \pi _{2}:x-6y+2z+1=0,\; \pi _{3}:2x+z-k=0.$

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla żadnego $\dpi{120} k\in R$ płaszczyzny nie są równoległe. Zatem są to płaszczyzny przecinające się. Sprawdźmy, kiedy będą to płaszczyzny prostopadłe:

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{2}}=\left [ 3,2,k \right ]\circ \left [ 1,-6,2 \right ]=3-12+2k=2k-9$

$\dpi{120} 2k-9=0\Rightarrow k=\frac{9}{2}$

Zatem dla $\dpi{120} k=\frac{9}{2}$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{2}$ są prostopadłe.

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}\circ \overrightarrow{n_{3}}=\left [ 3,2,k \right ]\circ \left [ 2,0,1 \right ]=6+0+k=k+6$

$\dpi{120} k+6=0\Rightarrow k=-6$

Zatem dla $\dpi{120} k=-6$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ i $\dpi{120} \pi _{3}$ są prostopadłe.

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}\circ \overrightarrow{n_{3}}=\left [ 1,-6,2 \right ]\circ \left [ 2,0,1 \right ]=2+0+2=4\neq 0$

Zatem dla żadnego $\dpi{120} k\in R$ płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{2}$ i $\dpi{120} \pi _{3}$ nie są prostopadłe.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Obliczyć miarę kąta między płaszczyznami $\dpi{120} \large \pi _{1}$ i $\dpi{120} \large \pi _{2}$ :

1) $\dpi{120} \pi _{1}:\left\{\begin{matrix} x=2-t-s\\ y=3+2t-s\\ z=-1-2t\; \; \end{matrix}\right.,\; \pi _{2}:\left\{\begin{matrix} x=3-s\; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ y=2+t\; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ z=-1-t+2s \end{matrix}\right.,$

Rozwiązanie

Aby zastosować wzór

$\dpi{120} \cos \left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} }$

potrzebna jest nam inna postać płaszczyzny. Dokładniej są na potrzebne współrzędne wektorów normalnych tych płaszczyzn czyli $\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [ A_{1},B_{1},C_{1} \right ]$ oraz $\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ A_{2},B_{2},C_{2} \right ]$ . Możemy zaś odczytać z postaci płaszczyzny ich wektory kierunkowe $\dpi{120} \vec{u}$ i $\dpi{120} \vec{v}$ . Pamiętajmy, że

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$

Zatem dla płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ mamy $\dpi{120} \vec{u}=\left [ -1,2,-2 \right ]$ – współczynniki przy $\dpi{120} t$ oraz $\dpi{120} \vec{v}=\left [ -1,-1,0 \right ]$ – współczynniki przy $\dpi{120} s$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [ -1,2,-2 \right ]\times \left [ -1,-1,0 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -1& 2 & -2\\ -1& -1& 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ -1& 2\\ -1 & -1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =0e_{1}+2e_{2}+e_{3}+2e_{3}-2e_{1}-0e_{2}=-2e_{1}+2e_{2}+3e_{3}=\left [ -2,2,3 \right ]$

Dla płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{2}$ mamy $\dpi{120} \vec{u}=\left [ 0,1,-1\right ]$ – współczynniki przy $\dpi{120} t$ oraz $\dpi{120} \vec{v}=\left [ -1,0,2 \right ]$ – współczynniki przy $\dpi{120} s$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ 0,1,-1 \right ]\times \left [ -1,0,2 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ 0& 1 & -1\\ -1& 0& 2 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ 0& 1\\ -1 & 0 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =0e_{1}+e_{2}+0e_{3}+e_{3}-0e_{1}-0e_{2}=e_{2}+e_{3}=\left [ 0,1,1 \right ]$

Teraz możemy wykorzystać wzór:

$\dpi{120} \cos \left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} }=$

$\dpi{120} =\frac{-2\cdot 0+2\cdot 1+3\cdot 1}{\sqrt{\left ( -2 \right )^{2}+2^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{34}}$

W tym momencie mamy wyliczony cosinus kąta między płaszczyznami. Najczęściej nie jest konieczne wyliczanie samego kąta, ale możemy skorzystać z funkcji odwrotnej do funkcji cosinus i mamy, że:

$\dpi{120} \measuredangle \left ( \pi _{1},\pi _{2} \right )=\arccos \frac{5}{\sqrt{34}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} \pi _{1}:\left\{\begin{matrix} x=1-2t+s\\ y=3-t-s\\ z=-4-t-2s\end{matrix}\right.,\; \pi _{2}:\left\{\begin{matrix} x=2+4t-s\\ y=-3-2t+3s \\ z=7+t+5s\end{matrix}\right..$

Rozwiązanie

Aby zastosować wzór

$\dpi{120} \cos \left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} }$

$\dpi{120} \vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$

Zatem dla płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{1}$ mamy $\dpi{120} \vec{u}=\left [ -2,-1,-1 \right ]$ – współczynniki przy $\dpi{120} t$ oraz $\dpi{120} \vec{v}=\left [ 1,-1,-2 \right ]$ – współczynniki przy $\dpi{120} s$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{1}}=\left [ -2,-1,-1 \right ]\times \left [ 1,-1,-2 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -2& -1 & -1\\ 1& -1& 2 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ -2& -1\\ 1 & -1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =-2e_{1}-e_{2}+2e_{3}+e_{3}-e_{1}+4e_{2}=-3e_{1}+3e_{2}+3e_{3}=\left [-3,3,3 \right ]$

Dla płaszczyzny $\dpi{120} \pi _{2}$ mamy $\dpi{120} \vec{u}=\left [4,-2,1\right ]$ – współczynniki przy $\dpi{120} t$ oraz $\dpi{120} \vec{v}=\left [ -1,3,5 \right ]$ – współczynniki przy $\dpi{120} s$ :

$\dpi{120} \overrightarrow{n_{2}}=\left [ -2,-1,-1 \right ]\times \left [ 1,-1,-2 \right ]=\begin{vmatrix} e_{1} & e_{2} &e_{3} \\ -2& -1 & -1\\ 1& -1& -2 \end{vmatrix}\begin{matrix} e_{1} &e_{2} \\ -2& -1\\ 1 & -1 \end{matrix}=$

$\dpi{120} =2e_{1}-e_{2}+2e_{3}+e_{3}-e_{1}-4e_{2}=e_{1}-5e_{2}+3e_{3}=\left [ 1,-5,3 \right ]$

Teraz możemy wykorzystać wzór:

$\dpi{120} \cos \left ( \pi _{1} ,\pi _{2}\right )=\frac{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}}\cdot\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2}} }=$

$\dpi{120} =\frac{-3\cdot 1+3\cdot \left ( -5 \right )+3\cdot 3}{\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+3^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{1^{2}+\left ( -5 \right )^{2}+3^{2}}}=$

$\dpi{120} =\frac{-9}{\sqrt{27}\cdot \sqrt{35}}=\frac{-9}{3\sqrt{3\cdot 3\sqrt{5}}}=\frac{-1}{\sqrt{15}}$

$\dpi{120} \measuredangle \left ( \pi _{1},\pi _{2} \right )=\arccos \frac{-1}{\sqrt{15}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń