Liczby zespolone, działania, teoria

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych $\dpi{120} \left ( a,b \right )$ . Parę taką zapisujemy jako:

$postać algebraiczna liczb zespolonch$

Postać tę nazywamy postacią algebraiczną (kanoniczną) liczby zespolonej. Liczba $\dpi{120} a$ to tzw. część rzeczywista, zaś $\dpi{120} b$ część urojona liczby zespolonej $\dpi{120} z$ i oznaczamy:

$\dpi{120} a=Re\left ( z \right ),\; b=Im\left ( z \right ).$

Symbol $\dpi{120} i$ oznacza jednostkę urojoną spełniającą warunek:

$\dpi{120} i^{2}=-1.$

geometryczna interpretacja liczby zsepolonej

Na zbiorze $\dpi{120} \mathbb{C}$ – wszystkich liczb zespolonych określamy podstawowe działania: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.

Niech $\dpi{120} z_{1}=a+bi$ oraz $\dpi{120} z_{2}=c+di.$

– Dodawanie:

$\dpi{120} z_{1}+z_{2}=\left ( a+bi \right )+\left ( c+di \right )=\left ( a+c \right )+\left ( b+d \right )i$

dodawanie liczb zespolonych

– Odejmowanie:

$\dpi{120} z_{1}-z_{2}=\left ( a+bi \right )-\left ( c+di \right )=\left ( a-c \right )+\left ( b-d \right )i$

– Mnożenie:

$\dpi{120} z_{1}\cdot z_{2}=\left ( a+bi \right )\cdot \left ( c+di \right )=$ (mnożymy jak wielomiany)

$\dpi{120} =a\cdot c+a\cdot di+c\cdot bi+bdi^{2}=$ (pamiętamy: $i^{2}=-1$ )

$\dpi{120} =\left ( ac-bd \right )+\left ( ad+bc \right )i$

– Dzielenie:

Wprowadźmy tzw. liczbę sprzężoną $\dpi{120} \bar{z}$ z liczbą $\dpi{120} z$ . Dla $\dpi{120} z=a+bi$ liczba z nią sprzężona to $\dpi{120} \bar{z}=a-bi.$ Wróćmy do dzielenia liczb zespolonych.

$\dpi{120} \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}=$ (mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika)

$\dpi{120} =\frac{ac-adi+bci-bdi^{2}}{c^{2}-\left ( di \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{ac-adi+bci+bd}{c^{2}-d^{2}i^{2}}=$ (grupujemy część rzeczywistą i urojoną)

$\dpi{120} =\frac{\left ( ac+bd \right )+\left ( bc-ad \right )i}{c^{2}+d^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\, i,$

przy założeniu, że $\dpi{120} z_{2}\neq 0$ , czyli $\dpi{120} c+di\neq 0$ , a stąd $\dpi{120} c\neq 0$ oraz $\dpi{120} d\neq 0$ .

Dwie liczby zespolone $\dpi{120} z_{1}$ i $\dpi{120} z_{2}$ są równe, gdy równe są ich części rzeczywiste oraz urojone, tzn.

$\dpi{120} z_{1}=z_{2}\Leftrightarrow \left ( Rez_{1}=Rez_{2} \right )\wedge \left ( Imz_{1}=Imz_{2} \right )\Leftrightarrow \left ( a=c \right )\wedge \left ( b=d \right ).$

Zapraszamy do zadań! tutaj