Zanim przejdziemy do zadań należy zapoznać się z zakładką Wzory do tego tematu. tutaj Znajdują się tam wszystkie potrzebne wzory, jak również tabele niezbędne do znajdowania postaci trygonometrycznej. Podany jest również algorytm sprowadzania liczby zespolonej do postaci trygonometrycznej.
Zadanie 1. Przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:
W zadaniu korzystamy ze wzoru na postać trygonometryczną liczby zespolonej :
,
gdzie
.
a) ,
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
W Tabeli wartości (zakładka Wzory tutaj ) znajdujemy kąt , dla którego
oraz
Mamy:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
b)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
W Tabeli wartości (zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt , dla którego
oraz
Mamy:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
c)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
W Tabeli wartości (zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt , dla którego
oraz
Mamy:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
d)
Rozwiązanie
Z postaci liczby wynika, że oraz
Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
W Tabeli wartości (zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt , dla którego
oraz
Mamy:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
e)
Rozwiązanie:
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Obydwie funkcje są dodatnie, więc I ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory). W Tabeli wartości ( zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
Mamy:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
f)
Rozwiązanie:
Z postaci liczby widzimy, że oraz
Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Funkcja jest ujemna, zaś
jest dodatnia, więc
IV ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus).
Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt IV ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
g)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Funkcja jest dodatnia, zaś
ujemna, więc
II ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus). Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt II ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
h)
Rozwiązanie
Z postaci liczby wynika, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Obydwie funkcje są ujemne, więc III ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus).
Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt III ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
i)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Obydwie funkcje są dodatnie, więc I ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
Mamy:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
j)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Funkcja jest ujemna, zaś
jest dodatnia, więc
IV ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus).
Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt IV ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
k)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Obydwie funkcje są ujemne, więc III ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus).
Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt III ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
l)
Rozwiązanie
Z postaci liczb widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Funkcja jest dodatnia, zaś
ujemna, więc
II ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus).
Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt II ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
m)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Obydwie funkcje są dodatnie, więc I ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
.
Mamy:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
n)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Funkcja jest ujemna, zaś
jest dodatnia, więc
IV ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus).
Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt IV ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
o)
Rozwiązanie
Z postaci tej liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Funkcja jest dodatnia, zaś
ujemna, więc
II ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus).
Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt II ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
p)
Rozwiązanie
Z postaci liczby widzimy, że oraz
. Liczymy moduł tej liczby,
oraz
:
Obydwie funkcje są ujemne, więc III ćw. (patrz Tabela znaków w zakładce Wzory tutaj). W Tabeli wartości (również zakładka Wzory tutaj) znajdujemy kąt
, dla którego
oraz
(pomijamy znak minus).
Mamy:
Patrz zakładka Wzory tutaj, kąt III ćw. zapisze się jako:
Jest to argument główny naszej liczby. Szukana postać trygonometryczna to:
W zadaniu tym przedstawione są wszystkie możliwe liczby zespolone dające się „ładnie” sprowadzić do postaci trygonometrycznej. Można oczywiście każdą z tych liczb pomnożyć przez dowolną liczbę rzeczywistą i otrzymamy nową liczbę zespoloną i nową postać trygonometryczną. Jednak łatwo ją otrzymać z już istniejącej, przez pomnożenie jej przez odpowiedni współczynnik, np. liczba Z podpunktu f) wiemy, że postać trygonometryczna liczby
Wobec tego postać trygonometryczna liczby
Oczywiście można ją liczyć również bezpośrednio ze wzorów podanych wcześniej.
Kolejne zadanie wykorzystuje wiadomości dotyczące modułu, sprzężenia i postaci algebraicznej. Bardzo często dawane są zadania o innej formie, a wiadomości, które się wykorzystuje są bardzo podstawowe.
Zadanie 2. Rozwiąż równania:
a)
Rozwiązanie
Wstawiamy
Mamy, że , więc
(pierwiastek zostawiamy po lewej stronie, resztę przenosimy na prawą)
(po prawej stronie grupujemy część rzeczywistą i urojoną)
Porównujemy część rzeczywistą z lewej i prawej strony, to samo z częścią urojoną. Otrzymujemy układ równań:
(wstawiamy
do pierwszego równania)
(podnosimy pierwsze równanie stronami do kwadratu)
Szukana liczba zespolona ma postać:
b)
Rozwiązanie
Wstawiamy
Mamy ,że , więc
(pierwiastek zostawiamy po lewej stronie, resztę przenosimy na prawą)
(po prawej stronie grupujemy część rzeczywistą i urojoną)
Porównujemy część rzeczywistą z lewej i prawej strony, to samo z częścią urojoną. Otrzymujemy układ równań:
(wstawiamy
do pierwszego równania)
(podnosimy pierwsze równanie stronami do kwadratu)
Szukana liczba zespolona ma postać
c)
Rozwiązanie
Wstawiamy
Mamy, że oraz mnożąc
otrzymujemy:
(pierwiastek zostawiamy po lewej stronie, resztę przenosimy na prawą)
(po prawej stronie grupujemy część rzeczywistą i urojoną)
Porównujemy część rzeczywistą z lewej i prawej strony, to samo z częścią urojoną. Otrzymujemy układ równań:
(wstawiamy
do pierwszego równania)
Podnosimy pierwsze równanie stronami do kwadratu:
(redukcja wyrazów podobnych)
Pierwsze równanie rozwiązujemy jako równanie kwadratowe:
Stąd:
Otrzymaliśmy dwie liczby zespolone spełniające to równanie: oraz
d)
Rozwiązanie
Pamiętamy, że liczbą sprzężoną z liczbą jest liczba
. Wstawiając otrzymujemy:
(stosujemy wzór
)
(redukcja oraz
)
(porównujemy część rzeczywistą i urojoną po obydwu stronach)
Otrzymaliśmy dwie liczby zespolone spełniające to równanie: oraz
e)
Rozwiązanie
Pamiętamy, że liczbą sprzężoną z liczbą jest liczba
. Wstawiając otrzymujemy:
(stosujemy wzór
)
(
)
(porównujemy część rzeczywistą i urojoną po obydwu stronach)
Rozważamy dwa przypadki. Pierwszy dla , drugi dla
1. , wówczas po wstawieniu do pierwszego równania mamy:
W tym przypadku dostaliśmy dwie liczby zespolone oraz
2. , wówczas po wstawieniu do pierwszego równania mamy:
Również w tym przypadku dostaliśmy dwie liczby zespolone oraz
Podsumowując, rozwiązaniami tego równania są cztery liczby zespolone:
f)
Rozwiązanie
Pamiętajmy, że liczbą sprzężoną z liczbą jest liczba
Wstawiając otrzymujemy:
(porównujemy część rzeczywistą i urojoną po obydwu stronach równania)
Szukana liczba zespolona ma postać