Liczby zespolone, postać trygonometryczna, wzory

$postać algebraiczna liczby zespolonej$ – postać algebraiczna liczby zespolonej

$postać trygonometryczna liczby zespolonej$ – postać trygonometryczna liczb zespolonych

gdzie

$moduł liczby zespolonej$ – moduł liczby zespolonej

$\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

$\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Z zależności tych wyliczamy kąt $\dpi{120} \varphi$ – tzw. argument główny liczby zespolonej. Będą nam potrzebne następujące wiadomości poznane w szkole średniej:

Tabela znaków funkcji $\dpi{120} \sin x$ i $\dpi{120} \cos x$

$\dpi{120} \varphi$	I ćw.	II ćw.	III ćw.	IV ćw.
$\dpi{120} \sin \varphi$	+	+	–	–
$\dpi{120} \cos \varphi$	+	–	–	+

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Kąt w stopniach	$\dpi{120} 0^{\circ}$	$\dpi{120} 30^{\circ}$	$\dpi{120} 45^{\circ}$	$\dpi{120} 60^{\circ}$	$\dpi{120} 90^{\circ}$	$\dpi{120} 180^{\circ}$	$\dpi{120} 270^{\circ}$	$\dpi{120} 360^{\circ}$
Miara łukowa	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} \small \frac{\pi }{6}$	$\dpi{120} \small \frac{\pi }{4}$	$\dpi{120} \small \frac{\pi }{3}$	$\dpi{120} \small \frac{\pi }{2}$	$\dpi{120} \pi$	$\dpi{120} \small \frac{3}{2}\pi$	$\dpi{120} 2\pi$
$\dpi{120} \sin \alpha$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} \small \frac{1}{2}$	$\dpi{120} \small \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\dpi{120} \small \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} -1$	$\dpi{120} 0$
$\dpi{120} \cos \alpha$	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} \small \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\dpi{120} \small \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\dpi{120} \small \frac{1}{2}$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} -1$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} 1$
$\dpi{120} tg\, \alpha$	$\dpi{120} 0$	$\dpi{120} \small \frac{\sqrt{3}}{3}$	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} \sqrt{3}$	–	$\dpi{120} 0$	–	$\dpi{120} 0$
$\dpi{120} ctg\, \alpha$	–	$\dpi{120} \sqrt{3}$	$\dpi{120} 1$	$\dpi{120} \small \frac{\sqrt{3}}{3}$	$\dpi{120} 0$	–	$\dpi{120} 0$	–

Zapis kąta $\dpi{120} \varphi$ w zależności od kąta $\dpi{120} \alpha \in$ I ćw.

$\dpi{120} \varphi \in$ I ćw. $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =a$

$\dpi{120} \varphi \in$ II ćw. $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =\pi -\alpha$

$\dpi{120} \varphi \in$ III ćw. $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =\pi +\alpha$

$\dpi{120} \varphi \in$ IV ćw. $\dpi{120} \Rightarrow \varphi =2\pi -\alpha .$

Algorytm sprowadzania liczby zespolonej $\dpi{120} z=a+bi$ do postaci trygonometrycznej

1. Liczymy moduł liczby zespolonej: $\dpi{120} \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

2. Liczymy: $\dpi{120} \sin \varphi =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ oraz $\dpi{120} \cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

3. Na podstawie tabeli znaków ustalamy do której ćwiartki należy kąt $\dpi{120} \varphi$

4. Na podstawie tabeli wartości znajdujemy kąt $\dpi{120} \alpha \in$ I ćw., dla którego $\dpi{120} \sin \alpha =\left | \sin \varphi \right |$ oraz $\dpi{120} \cos \alpha =\left | \cos \varphi \right |$

5. Z zapisu kąta $\dpi{120} \varphi$ w zależności od kąta $\dpi{120} \alpha \in$ I ćw., obliczamy wartość kąta $\dpi{120} \varphi$ , np. z punktu 3. wiemy, że $\dpi{120} \varphi \in$ II ćw. oraz z punktu 4 mamy, że $\dpi{120} \alpha =\frac{\pi }{6}$ , wówczas $\dpi{120} \varphi =\pi -\alpha =\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5}{6}\pi$

6. Kąt $\dpi{120} \varphi$ jest tzw. argumentem głównym liczby zespolonej

7. Zapisujemy postać trygonometryczną naszej liczby: $\dpi{120} z=\left | z \right |\cdot \left ( \cos \varphi +i\sin \varphi \right )$ wstawiając odpowiednie wartości za $\dpi{120} \left | z \right |$ oraz $\dpi{120} \varphi$ . Nie wymnażamy i nie obliczamy wartości sinusów i cosinusów!

Pokaż algorytm

Zwiń

Zapraszamy do zadań! tutaj