Liczby zespolone, działania, zadania

Mamy 4 zadania. Kolejność zadań, jak również podpunktów w zadaniach nie jest przypadkowa. Zaleca się rozwiązywanie ich właśnie w takiej kolejności. Zadania 1 i 2 są standardowe i najczęściej pojawiają się w trakcie ćwiczeń. Zadania 3 i 4 są nieco trudniejsze i dłuższe rachunkowo, więc nie należy od nich zaczynać nauki. Należy zwrócić uwagę na zadanie 3, w którym rozwiązujemy już równania o współczynnikach zespolonych, ale rozwiązania są liczbami rzeczywistymi. Widzimy, że na podstawie 4 podstawowych działań można ułożyć dosyć skomplikowane zadania. Waszym podstawowym celem jest jednak opanowanie zadań 1 i 2. Warto zajrzeć do zakładek Teoria tutaj i Wzory tutaj.

Zadanie 1. Wykonaj działania na liczbach zespolonych:

a) $\dpi{120} \left ( 2+3i \right )\cdot \left ( 4+i \right ),$

Rozwiązanie

Mnożymy jak wielomiany pamiętając, że $\dpi{120} i^{2}=-1$ .

$\dpi{120} \left ( 2 +3i\right )\left ( 4+i \right )=8+\overset{=14i}{\overbrace{2i+12i}}+3\overset{=-1}{\overbrace{i^{2}}}=$

$\dpi{120} =8+14i-3=5+14i$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \left ( 2-3i \right )\left ( 2+3i \right )^{2}-\left ( 3-2i \right ),$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( 2-3i \right )\left ( 2+3i \right )^{2}-\left ( 3-2i \right )\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\left ( 2-3i \right )\left ( 4+12i+\overset{=-9}{\overbrace{9i^{2}}} \right )-3+2i\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}\left ( 2-3i \right )\left ( -5+12i \right )-3+2i\overset{3.}{=}$

$\dpi{120} \overset{3.}{=}-10+24i+15i\overset{+36}{\overbrace{-36i^{2}}}-3+2i\overset{4.}{=}23+41i,$

stosujemy wzór skróconego mnożenia $\small \left ( x +y\right )^{2}=\left ( x^{2}+2xy+y^{2} \right )$ oraz zmieniamy znaki w nawiasie
$\small i^{2}=-1$ oraz redukcja wyrazów podobnych, czyli części rzeczywistej
mnożymy jak wielomiany i ponownie $\small i^{2}=-1$
redukcja części rzeczywistej i urojonej

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} \left ( 3+7i \right )\left ( -2+i \right )+\left ( -5-2i \right )\left ( -1+7i \right ),$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( 3+7i \right )\left ( -2+i \right )+\left ( -5-2i \right )\left ( -1+7i \right )\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\left ( -6+3i-14i-7 \right )+\left ( 5-35i+2i+14 \right )=$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}-13-11i+19-33i\overset{3.}{=}6-44i,$

mnożymy liczby jak wielomiany, pamiętając, że $\small i^{2}=-1$
redukcja części rzeczywistej i urojonej w nawiasach
ponowna redukcja wyrazów podobnych

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} \left ( 1+i \right )\left ( 1-i \right )\left ( -1+i \right )\left ( -1-i \right ),$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( 1+i \right )\left ( 1-i \right )\left ( -1+i \right )\left ( -1-i \right )\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\left ( 1-i^{2} \right )\left ( 1-i^{2} \right )\overset{2.}{=}\left ( 1+1 \right )\left ( 1+1 \right )=4$

stosujemy wzór $\small \left ( x-y \right )\left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$ do nawiasu pierwszego i drugiego oraz trzeciego i czwartego
uwzględniamy $\small i^{2}=-1$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} \frac{3+7i}{2-3i},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \frac{3+7i}{2-3i}\overset{1.}{=}\frac{3+7i}{2-3i}\cdot \frac{2+3i}{2+3i}\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}\frac{6+9i+14i-21}{4\underset{+9}{\underbrace{-9i^{2}}}}\overset{3.}{=}$

$\dpi{120} \overset{3.}{=}\frac{-15+23i}{13}\overset{4.}{=}-\frac{15}{13}+\frac{23}{13}i$

mnożymy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika
w liczniku mnożymy jak wielomiany, zaś w mianowniku stosujemy wzór $\small \left ( x-y \right )\left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$ oraz uwzględniamy $\small i^{2}=-1$
redukcja wyrazów podobnych
rozdzielamy wyrażenie na dwa ułamki, aby otrzymać wyraźną część rzeczywistą i urojoną

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} \frac{\left ( 3+i \right )\left ( 7-6i \right )}{3+i},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \frac{\left ( 3+i \right )\left ( 7-6i \right )}{3+i}\overset{1.}{=}\frac{21-18i+7i+6}{3+i}\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}\frac{27-11i}{3+i}\cdot \frac{3-i}{3-i}\overset{3.}{=}$

$\dpi{120} \overset{3.}{=}\frac{81-27i-33i+\overset{-11}{\overbrace{11i^{2}}}}{9\underset{+1}{\underbrace{-i^{2}}}}\overset{4.}{=}$

$\dpi{120} \overset{4.}{=}\frac{70-60i}{10}=7-6i$

wymnażamy licznik, pamiętając że $\small i^{2}=-1$
redukcja wyrazów podobnych
mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, wymnażamy wyrażenia w liczniku
redukcja wyrazów podobnych
rozdzielamy wyrażenie na dwa ułamki

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

g) $\dpi{120} \left ( 1+2i \right )\cdot i+\frac{2+3i}{1-4i},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( 1+2i \right )\cdot i+\frac{2+3i}{1-4i}\overset{1.}{=}i+\overset{-2}{\overbrace{2i^{2}}}+\frac{2+3i}{1-4i}\cdot \frac{1+4i}{1+4i}\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}i-2+\frac{2+8i+3i+\overset{-12}{\overbrace{12i^{2}}}}{1\underset{+16}{\underbrace{-16i^{2}}}}=$

$\dpi{120} =i-2+\frac{-10+11i}{17}\overset{3.}{=}$

$\dpi{120} \overset{3.}{=}\frac{17i-34-10+11i}{17}=$

$\dpi{120} =\frac{-44+28i}{17}=-\frac{44}{17}+\frac{28}{17}i$

mnożymy liczby zespolone
mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika
sprowadzamy do wspólnego mianownika

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

h) $\dpi{120} \frac{\left ( 5-2i \right )\left ( 8+i \right )-\left ( 2-3i \right )\left ( 4+2i \right )}{\left ( 1-2i \right )^{2}+\left ( 1+2i \right )^{2}},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \frac{\left ( 5-2i \right )\left ( 8+i \right )-\left ( 2-3i \right )\left ( 4+2i \right )}{\left ( 1-2i \right )^{2}+\left ( 1+2i \right )^{2}}\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\frac{40+5i-16i-2i^{2}-\left ( 8+4i-12i-6i^{2} \right )}{1-4i+4i^{2}+1+4i+4i^{2}}\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}\frac{40-11i+2-8-4i+12i+6i^{2}}{2+8i^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{42-11i-8+8i-6}{2-8}=\frac{28-3i}{-6}=$

$\dpi{120} =-\frac{28}{6}+\frac{3}{6}i=-\frac{14}{3}+\frac{1}{2}i$

mnożymy wyrażenia w liczniku, w mianowniku stosujemy wzory $\small \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ oraz $\small \left ( x-y \right )^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}$
redukcja, w liczniku opuszczamy nawias, pamiętając o zmianie znaków wewnątrz nawiasu (częsty błąd)

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

i) $\dpi{120} \frac{Im\left ( \left ( 1+i \right )\left ( 4-3i \right ) \right )}{3-4i},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \frac{Im\left ( \left ( 1+i \right )\left ( 4-3i \right ) \right )}{3-4i}\overset{1.}{=}\frac{Im\left ( 4-3i+4i\overset{+3}{\overbrace{-3i^{2}}} \right )}{3-4i}=$

$\dpi{120} =\frac{Im\left ( 7+i \right )}{3-4i}\overset{2.}{=}\frac{1}{3-4i}\cdot \frac{3+4i}{3+4i}=$

$\dpi{120} =\frac{3+4i}{9\underset{+16}{\underbrace{-16i^{2}}}}=\frac{3+4i}{25}=\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i$

mnożymy wyrażenie w nawiasie, $\small Im\left ( a+bi \right )$ oznacza część urojoną wyrażenia w nawiasie
$\small Im\left ( 7+i \right )=1$ , gdyż jest to część urojona wyrażenia w nawiasie, czyli współczynnik przy $\small i$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

j) $\dpi{120} \left ( 1+\frac{i}{\sqrt{2}-3i} \right )^{2},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( 1+\frac{i}{\sqrt{2}-3i} \right )^{2}\overset{1.}{=}\left ( 1+\frac{i}{\sqrt{2}-3i} \cdot \frac{\sqrt{2}+3i}{\sqrt{2}+3i}\right )^{2}=$

$\dpi{120} =\left ( 1+\frac{\sqrt{2}i+3i^{2}}{2\underset{+9}{\underbrace{-9i^{2}}}} \right )^{2}\overset{2.}{=}\left ( \frac{11+\sqrt{2}i-3}{11} \right )^{2}=$

$\dpi{120} =\left ( \frac{8+\sqrt{2}i}{11} \right )^{2}\overset{3.}{=}\frac{\left ( 8+\sqrt{2}i \right )^{2}}{11^{2}}\overset{4.}{=}$

$\dpi{120} \overset{4.}{=}\frac{64+16\sqrt{2}i+\overset{-2}{\overbrace{2i^{2}}}}{121}=$

$\dpi{120} =\frac{62+16\sqrt{2}i}{121}=\frac{62}{121}+\frac{16\sqrt{2}}{121}i$

mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika
sprowadzamy wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika
aby podnieść ułamek do kwadratu, podnosimy licznik do kwadratu i mianownik do kwadratu
stosujemy wzór $\small \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

k) $\dpi{120} \frac{2+i-Re\left ( \left ( 1-i \right )\left ( 3+2i \right ) \right )}{-1-2i},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \frac{2+i-Re\left ( \left ( 1-i \right )\left ( 3+2i \right ) \right )}{-1-2i}\overset{1.}{=}$

$\dpi{120} \overset{1.}{=}\frac{2+i-Re\left ( 3+2i-3i\overset{+2}{\overbrace{-2i^{2}}} \right )}{-1-2i}=$

$\dpi{120} =\frac{2+i-Re\left ( 5-i \right )}{-1-2i}\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}\frac{2+i-5}{-1-2i}\overset{3.}{=}\frac{-3+i}{-1-2i}\cdot \frac{-1+2i}{-1+2i}=$

$\dpi{120} =\frac{3-6i-i+\overset{-2}{\overbrace{2i^{2}}}}{\left ( -1 \right )^{2}\underset{+4}{\underbrace{-\left ( 2i \right )^{2}}}}=\frac{1-7i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{7}{5}i$

mnożymy wyrażenia w nawiasach
$\small Re\left ( 5-i \right )=5$ , jest to część rzeczywista liczby zespolonej
mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

l) $\dpi{120} \left ( \frac{3+4i}{3-4i}-\frac{3-4i}{3+4i} \right )^{3}.$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( \frac{3+4i}{3-4i}-\frac{3-4i}{3+4i} \right )^{3}\overset{1.}{=}\left ( \frac{\left ( 3+4i \right )^{2}-\left ( 3-4i \right )^{2}}{\left ( 3-4i \right )\left ( 3+4i \right )} \right )^{3}\overset{2.}=$

$\dpi{120} \overset{2.}=\left ( \frac{9+24i+\overset{-16}{\overbrace{16i^{2}}}-\left ( 9-24i+\overset{-16}{\overbrace{16i^{2}}} \right )}{9\underset{+16}{\underbrace{-16i^{2}}}} \right )^{3}\overset{3.}{=}$

$\dpi{120} \overset{3.}{=}\left ( \frac{-7+24i-9+24i+16}{25} \right )^{3}=$

$\dpi{120} =\left ( \frac{48i}{25} \right )^{3}=\left ( \frac{48}{25} \right )^{3}i^{3}=$

$\dpi{120} =\left ( \frac{48}{25} \right )^{3}\cdot \overset{-1}{\overbrace{i^{2}}}\cdot i=-\left ( \frac{48}{25} \right )^{3}i$

sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika
stosujemy wzory $\small \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ oraz $\small \left ( x-y \right )\left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$
opuszczamy nawias i zmieniamy każdy znak w tym nawiasie na przeciwny

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczb:

a) $\dpi{120} 6i,$

Rozwiązanie

część rzeczywista: $\dpi{120} Re\left ( 6i \right )=Re\left ( 0+6i \right )=0$ ,

część urojona: $\dpi{120} Im\left ( 6i \right )=6$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \frac{1}{2}+\frac{i}{2},$

Rozwiązanie:

$\dpi{120} Re\left ( {\color{Red} \frac{1}{2}}+\frac{1}{2}i \right )={\color{Red} \frac{1}{2}},\; \; \; \; Im\left ( \frac{1}{2}+{\color{Blue} \frac{1}{2}}i \right )={\color{Blue} \frac{1}{2}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} \frac{1}{1+i\sqrt{3}},$

Rozwiązanie

Najpierw sprowadzamy tę liczbę do postaci algebraicznej, czyli mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

$\dpi{120} \frac{1}{1+i\sqrt{3}}\cdot \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}=\frac{1-i\sqrt{3}}{1\underset{+3}{\underbrace{-3i^{2}}}}=\frac{1-i\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i.$

Stąd:

$\dpi{120} Re\left ( {\color{Red} \frac{1}{4}}-\frac{\sqrt{3}}{4}i \right )={\color{Red} \frac{1}{4}},\; \; \; Im\left ( \frac{1}{4}{\color{Blue} -\frac{\sqrt{3}}{4}}i \right )={\color{Blue} -\frac{\sqrt{3}}{4}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} \frac{1+i}{1-i},$

Rozwiązanie

Najpierw sprowadzamy tę liczbę do postaci algebraicznej, czyli mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.

$\dpi{120} \frac{1+i}{1-i}\cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{1+2i+i^{2}}{1-i^{2}}=\frac{1+2i-1}{1+1}=\frac{2i}{2}=i.$

Stąd:

$\dpi{120} Re\left ( i \right )=0,\; \; \; Im\left ( i \right )=1.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} \left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{2},$

Rozwiązanie

Stosujemy wzór $\dpi{120} \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

$\dpi{120} \left ( 1+i\sqrt{3} \right )^{2}=1+2\sqrt{3}i+\overset{-3}{\overbrace{3i^{2}}}=-2+2\sqrt{3}i.$

Stąd:

$\dpi{120} Re\left ( -2+2\sqrt{3}i \right )=-2,\; \; \; Im\left ( -2+2\sqrt{3}i \right )=2\sqrt{3}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

f) $\dpi{120} \frac{4i\left ( 1-16i \right )-\left ( 1+i \right )^{2}}{\left ( 1+2 \right )\left ( 2i+1 \right )},$

Rozwiązanie

Najpierw wykonujemy wszystkie działania, czyli mnożymy liczby zespolone, wykorzystujemy wzór $\dpi{120} \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ oraz pamiętamy, że $\dpi{120} i^{2}=-1$

$\dpi{120} \frac{4i\left ( 1-16i \right )-\left ( 1+i \right )^{2}}{\left ( i+2 \right )\left ( 2i+1 \right )}=\frac{4i-64i^{2}-\left ( 1+2i+i^{2} \right )}{2i^{2}+i+4i+2}=$

$\dpi{120} =\frac{4i+64-\left (1+2i -1 \right )}{-2+5i+2}=\frac{4i+64-2i}{5i}=\frac{64+2i}{5i}=$

Mamy dzielenie liczb zespolonych, więc domnażamy licznik i mianownik przez $\dpi{120} 5i$ . W tym wypadku nie musi to być koniecznie sprzężenie mianownika, czyli $\dpi{120} -5i$ , ale jeżeli domnożymy przez $\dpi{120} -5i$ również będzie poprawnie.

$\dpi{120} =\frac{64+2i}{5i}\cdot \frac{5i}{5i}=\frac{320i+10i^{2}}{25i^{2}}=\frac{-10+320i}{-25}=0,4-12,8i.$

Stąd:

$\dpi{120} Re\left ( 0,4-12,8i \right )=0,4;\; \; Im\left ( 0,4-12,8i \right )=-12,8.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

g) $\dpi{120} i^{135},$

Rozwiązanie

Jeżeli mamy wysoką potęgę liczby $\dpi{120} i$ , to korzystając z własności potęg, zapisujemy ją jako iloczyn $\dpi{120} i$ oraz najwyższej potęgi parzystej $\dpi{120} i$ , tzn.

$\dpi{120} i^{135}=i\cdot i^{134}=i\cdot \left ( i^{2} \right )^{67},$

Parzystą potęgę zapisujemy jako potęgę $\dpi{120} i^{2}$ , aby móc skorzystać z $\dpi{120} i^{2}=-1$

$\dpi{120} i\cdot \left ( i^{2} \right )^{67}=i\cdot \left ( -1 \right )^{67}=i\cdot \left ( -1 \right )=-i.$

Stąd:

$\dpi{120} Re\left ( i^{135} \right )=Re\left ( -i \right )=0,\; \; \; Im\left ( i^{135} \right )=Im\left ( -i \right )=-1.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

h) $\dpi{120} \frac{\left ( 1-i \right )^{2}}{\left ( -2+2i \right )^{2}\cdot i^{63}}.$

Rozwiązanie

Stosujemy wzory $\dpi{120} \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ oraz $\dpi{120} \left ( x-y \right )^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}$ , a $\dpi{120} i^{63}$ zapisujemy jako $\dpi{120} i\cdot i^{62}$ , podobnie jak we wcześniejszym podpunkcie:

$\dpi{120} \frac{\left ( 1-i \right )^{2}}{\left ( -2+2i \right )^{2}\cdot i^{63}}=\frac{1-2i+\overset{-1}{\overbrace{i^{2}}}}{\left ( 4-8i+\underset{-4}{\underbrace{4i^{2}}} \right )\cdot i\cdot i^{62}}=$

$\dpi{120} =\frac{-2i}{-8i\cdot i\cdot \left ( i^{2} \right )^{31}}=\frac{-2i}{-8i^{2}\cdot \left ( -1 \right )^{31}}=$

$\dpi{120} =\frac{-2i}{8\cdot \left ( -1 \right )}=\frac{-2i}{-8}=\frac{1}{4}i.$

Stąd:

$\dpi{120} Re\left ( \frac{\left ( 1-i \right )^{2}}{\left ( -2+2i \right )^{2}\cdot i^{63}} \right )=Re\left ( \frac{1}{4}i \right )=0,$

$\dpi{120} Im\left ( \frac{\left ( 1-i \right )^{2}}{\left ( -2+2i \right )^{2}\cdot i^{63}} \right )=Im\left ( \frac{1}{4}i \right )=\frac{1}{4}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych $\dpi{120} \large x,y,$ które są rozwiązaniami równań:

a) $\dpi{120} \left ( 1+2i \right )x+\left ( 3-5i \right )y=1-3i,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( 1+2i \right )x+\left ( 3-5i \right )y=1-3i$

Mnożymy wyrazy po lewej stronie. Mamy:

$\dpi{120} x+2ix+3y-5yi=1-3i$

Grupujemy część rzeczywistą i urojoną:

$\dpi{120} {\color{Red} x+3y}+\left ( {\color{Blue} 2x-5y} \right )i={\color{Red} 1}{\color{Blue} -3}i$

Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x+3y=1\\ 2x-5y=-3 \end{matrix}\right.$

Rozwiązując powyższy układ równań np. metodą podstawiania, otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=1-3y\\ 2x-5y=-3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-3y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ 2\left ( 1-3y \right )-5y=-3 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=1-3y\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\ 2-6y-5y=-3 \end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\dpi{120} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-3y\\ -11y=-5 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-3y\\ y=\frac{5}{11}\; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Czyli

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=-\frac{4}{11}\\ y=\frac{5}{11}\; \; \; \end{matrix}\right.$

Są to szukane liczby rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \left ( 1+i \right )x+\left ( 2+i \right )y=5+3i,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \left ( 1+i \right )x+\left ( 2+i \right )y=5+3i,$

Mnożymy wyrazy po lewej stronie. Mamy:

$\dpi{120} x+xi+2y+yi=5+3i$

Grupujemy część rzeczywistą i część urojoną:

$\dpi{120} {\color{Red} x+2y}+\left ( {\color{Blue} x+y} \right )i={\color{Red} 5}+{\color{Blue} 3}i$

Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x+2y=5\\ x+y=3 \end{matrix}\right.$

Rozwiązując powyższy układ np. metodą podstawiania, otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=5-2y\\ x+y=3 \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5-2y\; \; \; \; \; \\ 5-2y+y=3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5-2y\\ -y=-2\; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=5-2y\\ y=2 \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Czyli

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=2 \end{matrix}\right.$

Są to szukane liczby rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} \frac{x}{2-5i}+\frac{y}{3+2i}=1,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} \frac{x}{2-5i}+\frac{y}{3+2i}=1,$

Mnożymy równanie stronami przez wspólny mianownik, czyli $\dpi{120} \left ( 2-5i \right )\left ( 3+2i \right ).$ Otrzymujemy:

$\dpi{120} x\left ( 3+2i \right )+y\left ( 2-5i \right )=\left ( 2-5i \right )\left ( 3+2i \right ).$

Mnożymy wyrazy po lewej i prawej stronie. Mamy:

$\dpi{120} 3x+2xi+2y-5yi=6+4i-15i+10$

Grupujemy część rzeczywistą i urojoną:

$\dpi{120} 3x+2y+\left ( 2x-5y \right )i=16-11i$

Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 3x+2y=16\\ 2x-5y=-11 \end{matrix}\right.$

Rozwiązując powyższy układ równań np. metodą przeciwnych współczynników, otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} 3x+2y=16/\cdot \left ( -2 \right )\\ 2x-5y=-11/\cdot 3 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -6x-4y=-32\\ 6x-15y=-33 \end{matrix}\right.\Rightarrow -19y=-65\Rightarrow y=\frac{65}{19}$

Czyli

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=\frac{58}{19}\\ y=\frac{65}{19} \end{matrix}\right.$

Są to szukane liczby rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} x\cdot \frac{2+i}{3-i}+y\cdot \left ( \frac{4-i}{1-3i} \right )^{2}=1+i,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} x\cdot \frac{2+i}{3-i}+y\cdot \left (\frac{4-i}{1-3i} \right )^{2}=1+i,$

Mnożymy równanie stronami przez wspólny mianownik, czyli $\dpi{120} \left ( 3-i \right )\left ( 1-3i \right )^{2}.$ Otrzymujemy:

$\dpi{120} x\left ( 2+i \right )\left ( 1-3i \right )^{2}+y\left ( 4-i \right )^{2}\left ( 3-i \right )=\left ( 1+i \right )\left ( 3-i \right )\left ( 1-3i \right )^{2}$

Korzystając ze wzoru $\dpi{120} \left ( x-y \right )^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}$ , otrzymujemy:

$\dpi{120} x\left ( 2+i \right )\left ( 1-6i-9 \right )+y\left ( 16-8i-1 \right )\left ( 3-i \right )=\left ( 3-i+3i+1 \right )\left ( 1-6i-9 \right )$

$\dpi{120} x\left ( 2+i \right )\left ( -8-6i \right )+y\left ( 15-8i \right )\left ( 3-i \right )=\left ( 4+2i \right )\left ( -8-6i \right )$

$\dpi{120} x\left ( -16-12i-8i+6 \right )+y\left ( 45-15i-24i-8 \right )=-32-24i-16i+12$

$\dpi{120} x\left ( -10-20i \right )+y\left ( 37-39i \right )=-20-40i$

$\dpi{120} -10x-20xi+37y-39yi=-20-40i$

Grupujemy część rzeczywistą i część urojoną:

$\dpi{120} -10x+37y+\left ( -20x-39y \right )i=-20-40i$

Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -10x+37y=-20\\ -20x-39y=-40 \end{matrix}\right.$

Rozwiązując powyższy układ równań np. metodą przeciwnych współczynników, otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} -10x+37y=-20/\cdot \left ( -2 \right )\\ -20x-39y=-40\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 20x-74y=40\\ -20x-39y=-40 \end{matrix}\right.\Rightarrow$

$\dpi{120} \Rightarrow -113y=0\Rightarrow y=0$

Czyli

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=0 \end{matrix}\right.$

Są to szukane liczby rzeczywiste. Pojawiło się w rachunkach trochę skrótów, ale są to już kolejne dłuższe zadania.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

e) $\dpi{120} \left ( \overline{x+iy} \right )\left ( x+3i \right )-iy^{2}=x^{2}+2i.$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy definicję liczby sprzężonej do danej, czyli $\dpi{120} \overline{x+iy}=x-iy$

$\dpi{120} \left ( x-iy \right )\left ( x+3i \right )-iy^{2}=x^{2}+2i$

Wymnażamy lewą stronę równania:

$\dpi{120} x^{2}+3xi-xyi\overset{+3y}{\overbrace{-3yi^{2}}}-iy^{2}=x^{2}+2i$

Grupujemy część rzeczywistą i część urojoną:

$\dpi{120} {\color{Red} x^{2}+3y}+\left ( {\color{Blue} 3x-xy-y^{2}} \right )i={\color{Red} x^{2}}+{\color{Blue} 2}i$

Aby dwie liczby zespolone były równe, odpowiednie ich części muszą być równe, czyli:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} x^{2}+3y=x^{2}\Rightarrow 3y=0\Rightarrow y=0\\ 3x-xy-y^{2}=2 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right.$

Więc wstawiając $\dpi{120} y=0$ do drugiego równania, otrzymujemy:

$\dpi{120} \left\{\begin{matrix} y=0\\ x=\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

Są to szukane liczby rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Przyjmując $\dpi{120} \large z=a+bi,\; a,b\in \mathbb{R},$ wyznacz część rzeczywistą i urojoną liczb:

a) $\dpi{120} z^{2}+\overline{iz},$

Rozwiązanie

Wstawiamy $\dpi{120} z=a+bi$ oraz $\dpi{120} \overline{z}=a-bi.$ Mamy:

$\dpi{120} \left ( a+bi \right )^{2}+\overline{i\left ( a+bi \right )}\overset{1.}{=}a^{2}+2abi+b^{2}i^{2}+\overline{\left ( ai+bi^{2} \right )}\overset{2.}{=}$

$\dpi{120} \overset{2.}{=}a^{2}+2abi-b^{2}+\left ( \overline{ai-b} \right )\overset{3.}{=}a^{2}+2abi-b^{2}-ai-b\overset{4.}{=}$

$\dpi{120} \overset{4.}{=}a^{2}-b^{2}-b+i\left ( 2ab-a \right )$

Stąd $\dpi{120} Re\, z=a^{2}-b^{2}-b,\; \; \; Im\, z=2ab-a$

stosujemy wzór $\small \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ oraz wykonujemy mnożenie liczb
wykorzystujemy $\small i^{2}=-1$
sprzężenie liczby $\small \overline{ai-b}$ wynosi $\small -ai-b$ . Częsty błąd, gdyż zmieniona jest kolejność części rzeczywistej i urojonej.
grupujemy część rzeczywistą i urojoną liczby

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

b) $\dpi{120} \frac{1}{z^{2}},$

Rozwiązanie

Wstawiamy $\dpi{120} z=a+bi$ . Mamy:

$\dpi{120} \frac{1}{z^{2}}=\frac{1}{\left ( a+bi \right )^{2}}\overset{1.}{=}\frac{1}{a^{2}+2abi-b^{2}}\overset{2.}{=}\frac{1}{a^{2}-b^{2}+2abi}\cdot \frac{a^{2}-b^{2}-2abi}{a^{2}-b^{2}-2abi}=$

$\dpi{120} =\frac{a^{2}-b^{2}-2abi}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2}-4a^{2}b^{2}i^{2}}\overset{3.}{=}\frac{a^{2}-b^{2}-2abi}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}}\overset{4.}{=}$

$\dpi{120} \overset{4.}{=}\frac{a^{2}-b^{2}}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}}-\frac{2ab}{\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}}i$

Stąd

$\dpi{120} Re\, z=\frac{a^{2}-b^{2}}{\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}},\; \; \; Im\, z=\frac{-2ab}{\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}}.$

stosujemy wzór $\small \left ( x+y \right )^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ i korzystamy z $\small i^{2}=-1$
mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, uważając, co jest częścią rzeczywistą, a co urojoną
zastosowaliśmy wzór $\small \left ( x-y \right )\left ( x+y \right )=x^{2}-y^{2}$ w mianowniku oraz $\small i^{2}=-1$
rozdzielamy na dwa ułamki: część rzeczywistą i urojoną

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

c) $\dpi{120} \frac{1+z}{i-z},$

Rozwiązanie

Wstawiamy $\dpi{120} z=a+bi$ . Mamy:

$\dpi{120} \frac{1+z}{i-z}=\frac{1+a+bi}{i-a-bi}=\frac{1+a+bi}{-a+\left ( 1-b \right )i},$

W mianowniku pogrupowaliśmy część rzeczywistą i urojoną. Teraz pomnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownik, czyli $\dpi{120} -a-\left ( 1-b \right )i.$ Mamy:

$\dpi{120} \frac{1+a+bi}{-a+\left ( 1-b \right )i}\cdot\frac{-a-\left ( 1-b \right )i}{-a-\left ( 1-b \right )i}=\frac{\left ( 1+a+bi \right )\left ( -a-\left ( 1-b \right )i \right )}{\left ( -a \right )^{2}-\left [ \left ( 1-b \right )i \right ]^{2}}=$

Mnożymy liczby w liczniku, pamiętając o $\dpi{120} i^{2}=-1.$ Wyrażenia w mianowniku podnosimy do kwadratu:

$\dpi{120} =\frac{\left ( 1+a+bi \right )\left ( -a-\left ( 1-b \right )i \right )}{\left ( -a \right )^{2}-\left [ \left ( 1-b \right )i \right ]^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{\left ( 1+a \right )\left ( -a \right )-\left ( 1+a \right )\left ( 1-b \right )i-abi-b\left ( 1-b \right )i^{2}}{a^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}}=$

Grupujemy w liczniku część rzeczywistą i urojoną:

$\dpi{120} =\frac{-a\left ( 1-a \right )+b\left ( 1-b \right )-\left [ \left ( 1+a \right )\left ( 1-b \right )+ab \right ]i}{a^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{-a+a^{2}+b-b^{2}-\left ( 1-b+a-ab+ab \right )i}{a^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}}$

Mamy:

$\dpi{120} Re\, z=\frac{a^{2}-b^{2}-a+b}{a^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}},\; \; \; Im\, z=\frac{-1-a+b}{a^{2}+\left ( 1-b \right )^{2}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

d) $\dpi{120} \frac{z}{1-z^{2}}.$

Rozwiązanie

Wstawiamy $\dpi{120} z=a+bi$ . Mamy:

$\dpi{120} \frac{z}{1-z^{2}}=\frac{a+bi}{1-\left ( a+bi \right )^{2}}=$

Stosujemy w mianowniku wzór $\dpi{120} \left ( x +y^{2}\right )=\left ( x^{2}+2xy+y^{2} \right ).$ Mamy:

$\dpi{120} =\frac{a+bi}{1-\left (a+bi \right )^{2}}=\frac{a+bi}{1-\left ( a^{2}+2abi+b^{2}i^{2} \right )}=$

$\dpi{120} =\frac{a+bi}{1-a^{2}-2abi+b^{2}}=\frac{a+bi}{1-a^{2}+b^{2}-2abi}=$

Mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika, czyli $\dpi{120} 1-a^{2}+b^{2}+2abi$

$\dpi{120} =\frac{a+bi}{1-a^{2}+b^{2}-2abi}\cdot \frac{1-a^{2}+b^{2}+2abi}{1-a^{2}+b^{2}+2abi}=$

$\dpi{120} =\frac{a\left ( 1-a^{2}+b^{2} \right )+2a^{2}bi+b\left ( 1-a^{2}+b^{2} \right )i+2ab^{2}i^{2}}{\left ( 1-a^{2}+b^{2} \right )^{2}-4a^{2}b^{2}i^{2}}=$

Po redukcji otrzymujemy:

$\dpi{120} =\frac{a-a^{3}+ab^{2}-2ab^{2}+\left ( 2a^{2}b+b-a^{2}b+b^{3} \right )i}{\left ( 1-a^{2}+b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{a-a^{3}-ab^{2}+\left ( a^{2}b+b+b^{3} \right )i}{\left ( 1-a^{2}+b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}}$

Mamy, że:

$\dpi{120} Re\, z=\frac{a-a^{3}-ab^{2}}{\left ( 1-a^{2}+b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}},\; \; \; Im\, z=\frac{a^{2}b+b+b^{3}}{\left ( 1-a^{2}+b^{2} \right )^{2}+4a^{2}b^{2}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń