Przebieg zmienności funkcji (teoria)

Omówimy tutaj dwa zastosowania pochodnej funkcji, a mianowicie monotoniczność funkcji oraz wklęsłość i wypukłość funkcji. Dodatkowo powiemy o asymptotach funkcji.

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI

Twierdzenie 1.

Jeżeli $\dpi{120} f$ jest różniczkowalna w pewnym przedziale $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ oraz dla każdego $\dpi{120} x\in \left ( a;b \right )$ :

a) $\dpi{120} f'\left ( x \right )>0,$ to funkcja $\dpi{120} f$ jest rosnąca w $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ ,

b) $\dpi{120} f'\left ( x \right )<0,$ to funkcja $\dpi{120} f$ jest malejąca w $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ ,

c) $\dpi{120} f'\left ( x \right )=0,$ to funkcja $\dpi{120} f$ jest stała w $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ .

WKLĘSŁOŚĆ I WYPUKŁOŚĆ FUNKCJI

Załóżmy, że funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ ma pochodną na przedziale $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ .

Mówimy, że krzywa $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ jest:

a) wypukła (” $\dpi{120} \large \cup$ ”) na przedziale $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\dpi{120} x_{0}\in \left ( a;b \right )$ styczna poprowadzona do tej krzywej w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0};f\left ( x_{0} \right ) \right )$ jest położona pod tą krzywą,

b) wklęsła (” $\dpi{120} \large \cap$ ”) na przedziale $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\dpi{120} x_{0}\in \left ( a;b \right )$ styczna poprowadzona do tej krzywej w punkcie $\dpi{120} \left ( x_{0};f\left ( x_{0} \right ) \right )$ jest położona nad tą krzywą.

Twierdzenie 2.

Jeżeli $\dpi{120} f$ dla każdego $\dpi{120} x\in \left ( a;b \right )$ :

a) $\dpi{120} f''\left ( x \right )<0$ , to krzywa $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ jest wklęsła na przedziale $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ ,

b) $\dpi{120} f''\left ( x \right )>0$ , to krzywa $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ jest wypukła na przedziale $\dpi{120} \left ( a;b \right )$ .

Punkt $\dpi{120} P_{0}\left ( x_{0};f\left ( x_{0} \right ) \right)$ nazywamy punktem przegięcia krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ wtedy i tylko, gdy

1) istnieje styczna do krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ w punkcie $\dpi{120} P_{0}$ ,

2) krzywa $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ jest wypukła na lewostronnym sąsiedztwie punktu $\dpi{120} x_{0}$ i wklęsła na pewnym prawostronnym sąsiedztwie tego punktu albo na odwrót.

Twierdzenie 3. (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli $\dpi{120} P_{0}\left ( x_{0};f\left ( x_{0} \right ) \right)$ jest punktem przegięcia krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ , to $\dpi{120} f''\left ( x _{0}\right )=0$ .

Twierdzenie 4. (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli $\dpi{120} f''\left ( x \right )$ zmienia znak w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ , to $\dpi{120} P_{0}\left ( x_{0};f\left ( x_{0} \right ) \right)$ jest punktem przegięcia krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ .

ASYMPTOTY FUNKCJI

1. Prostą o równaniu $\dpi{120} x=c$ nazywamy asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $\dpi{120} f\left ( x \right )$ jest określona na pewnym lewostronnym (prawostronnym) sąsiedztwie punktu $\dpi{120} c$ oraz $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow c^{-}}f\left ( x \right )=-\infty$ albo $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow c^{+}}f\left ( x \right )=+\infty$ ( $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow c^{-}}f\left ( x \right )=+\infty$ albo $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow c^{+}}f\left ( x \right )=-\infty$ ).

2. Jeżeli prosta $\dpi{120} x=c$ jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ , to nazywamy ją asymptotą pionową tej krzywej.

3. Prostą o równaniu $\dpi{120} y=mx+n$ nazywamy asymptotą ukośną (gdy $\dpi{120} m\neq 0$ ) albo asymptotą poziomą (gdy $\dpi{120} m=0$ ) krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\left [ f\left ( x \right )-\left ( mx+n \right ) \right ]=0$ .

Twierdzenie 5.

Prosta $\dpi{120} y=mx+n$ jest asymptotą ukośną (poziomą, gdy $\dpi{120} m=0$ ) krzywej $\dpi{120} y=f\left ( x \right )$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice skończone $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{f\left ( x \right )}{x}=m$ i $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow \pm \infty }\left ( f\left ( x \right ) -mx\right )=n$ .

Zapraszamy do zadań! tutaj