Pierścienie - teoria

DEFINICJA

Zbiór $\dpi{120} P$ , w którym określone są dwa działania $\dpi{120} \tiny \bigoplus$ i $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ , nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są warunki:

1) $\dpi{120} P$ jest grupą abelową względem działania $\dpi{120} \tiny \bigoplus$ ,

2) działanie $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ jest rozdzielne względem $\dpi{120} \tiny \bigoplus$ , tzn.

$\dpi{120} \forall a,b\in P,\; [a\:$ $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ $\dpi{120} (b$ $\dpi{120} \tiny \bigoplus$ $\dpi{120} c)=(a\;$ $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ $\dpi{120} b)$ $\dpi{120} \tiny \bigoplus$ $\dpi{120} (a$ $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ $\dpi{120} c)]$

3) działanie $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ jest łączne.

Działanie $\dpi{120} \tiny \bigoplus$ nazywamy dodawaniem, zaś $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ mnożeniem. Pierścień, w którym mnożenie jest przemienne nazywamy pierścieniem przemiennym. Jeśli w pierścieniu istnieje element neutralny mnożenia, to element taki nazywamy jednością pierścienia, zaś pierścień zawierający jedność nazywamy pierścieniem z jednością.

Niezerowy element $\dpi{120} a$ pierścienia $\dpi{120} P$ nazywamy lewym (prawym) dzielnikiem zera, gdy istnieje niezerowy element $\dpi{120} b$ tego pierścienia taki, że $\dpi{120} a$ $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ $\dpi{120} b=\theta \; \; (b$ $\dpi{120} \tiny \bigotimes$ $\dpi{120} a=\theta )$ , gdzie $\dpi{120} \theta$ oznacza element neutralny grupy z działaniem $\dpi{120} \tiny \bigoplus$ . Element pierścienia $\dpi{120} P$ nazywamy dzielnikiem zera, gdy jest on lewym lub prawym dzielnikiem zera. Pierścień $\dpi{120} P$ nazywamy pierścieniem bez dzielników zera, gdy żaden jego element nie jest dzielnikiem zera.

Zbiory $\dpi{120} \mathbb{Z},\, \mathbb{Q},\, \mathbb{R}$ z dodawaniem i mnożeniem jako działaniami są pierścieniami przemiennymi z jednością, bez dzielników zera. Pierścienie takie nazywamy pierścieniami całkowitymi.