Liczby zespolone, działania, wzory

Zapamiętaj!

$jednostka urojona$

postać algebraiczna liczby zespolonej: $\dpi{120} z=a+bi,\; a,b\in \mathbb{R}$

część rzeczywista: $\dpi{120} a=Re\left ( z \right )$

część urojona: $\dpi{120} b=Im\left ( z \right )$

liczba sprzężona: $\dpi{120} \bar{z}=a-bi$

dodawanie:

$\dpi{120} z_{1}+z_{2}=\left ( a+bi \right )+\left ( c+di \right )=\left ( a+c \right )+\left ( b+d \right )i$

odejmowanie:

$\dpi{120} z_{1}-z_{2}=\left ( a+bi \right )-\left ( c+di \right )=\left ( a-c \right )+\left ( b-d \right )i$

mnożymy jak wielomiany:

$\dpi{120} z_{1}\cdot z_{2}=\left ( a+bi \right )\cdot \left ( c+di \right )=$

$\dpi{120} =a\cdot c+a\cdot di+c\cdot bi+bdi^{2}=$ (pamiętamy: $\dpi{120} \small i^{2}=-1$ )

$\dpi{120} =\left ( ac-bd \right )+\left ( ad+bc \right )i$

dzielenie:

$\dpi{120} \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{a+bi}{c+di}\cdot \frac{c-di}{c-di}=$ (mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika)

$\dpi{120} =\frac{ac-adi+bci-bdi^{2}}{c^{2}-\left ( di \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{ac-adi+bci+bd}{c^{2}-d^{2}i^{2}}=$ (grupujemy część rzeczywistą i urojoną)

$\dpi{120} =\frac{\left ( ac+bd \right )+\left ( bc-ad \right )i}{c^{2}+d^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\, i$

Nie ucz się tych wzorów na pamięć! Pamiętaj o kolejności wykonywania czynności! W ostatecznym wyniku powinna być wyraźnie widoczna część rzeczywista i urojona liczby, nawet gdy w poleceniu nie jest to wyraźnie zapisane. Dla wykładowcy jest to oczywiste, więc dla Was też powinno.

Zapraszamy do zadań! tutaj