Liczenie pochodnych (zadania) - WYZNACZNIK

Mamy 6 zadań. W zadaniu 1 i 2 liczymy pochodne z definicji. W zadaniu 3 liczymy pochodne ze wzorów przedstawionych w zakładce Wzory tutaj. Kolejność podpunktów jest znacząca: od łatwych do trudnych. Zadanie 4 to tzw. pochodne logarytmiczne. Zupełnie inny schemat dlatego przedstawiony w oddzielnym zadaniu. W zadaniu 5 i 6 przedstawiamy podstawowe zastosowanie pochodnej z wykorzystaniem wzoru na styczną do krzywej.

Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji z definicji:

1) $\dpi{120} y=x^{2},$

Rozwiązanie

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ :

$\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+\Delta x \right )-f\left ( x _{0}\right )}{\Delta x}$

Mamy zatem dla dowolnego $\dpi{120} x_{0}\in \mathbb{R}$ :

$\dpi{120} f\left ( x_{0} \right )=\left ( x_{0} \right )^{2}$

oraz

$\dpi{120} f\left ( x_{0} +\Delta x\right )=\left ( x_{0}+\Delta x \right )^{2}$

Wstawiamy do definicji:

$\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left ( x_{0} +\Delta x\right )^{2}-\left ( x_{0} \right )^{2}}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} \left ( x_{0} \right )^{2}}+2x_{0}\cdot \Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}{\color{Red} -\left ( x_{0} \right )^{2}}}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ 2x_{0}\cdot \Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}}{\Delta x}=$

Wyłączamy w liczniku $\dpi{120} \Delta x$ przed nawias:

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ {\color{Red} \Delta x}\cdot \left (2x_{0}+\Delta x \right )}{{\color{Red} \Delta x}}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left (2x_{0}+\Delta x \right )=2x_{0}$

Z dowolności wyboru punktu $\dpi{120} x_{0}$ otrzymujemy:

$\dpi{120} \left ( x^{2} \right )'=2x$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y=\sqrt{x},$

Rozwiązanie

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ :

$\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+\Delta x \right )-f\left ( x _{0}\right )}{\Delta x}$

Mamy zatem dla dowolnego $\dpi{120} x_{0}\geqslant 0$ :

$\dpi{120} f\left ( x_{0} \right )=\sqrt{x_{0}}$

oraz

$\dpi{120} f\left ( x_{0} +\Delta x\right )= \sqrt{x_{0}+\Delta x}$

Wstawiamy do definicji:

$\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \sqrt{x_{0} +\Delta x}- \sqrt{x_{0} }}{\Delta x}=$

Aby pozbyć się symbolu nieoznaczonego $\dpi{120} \frac{0}{0}$ mnożymy licznik i mianownik przez tzw. sprzężenie mianownika. Zatem:

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \sqrt{x_{0} +\Delta x}- \sqrt{x_{0} }}{\Delta x}\cdot \frac{\sqrt{x_{0} +\Delta x}+ \sqrt{x_{0} }}{\sqrt{x_{0} +\Delta x}+ \sqrt{x_{0} }}=$

W liczniku otrzymujemy wzór skróconego mnożenia $\dpi{120} a^{2}-b^{2}$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} x_{0}}+\Delta x{\color{Red} -x_{0}}}{\Delta x\cdot \left ( \sqrt{x_{0}+\Delta x}+\sqrt{x_{0}} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{{\color{Blue} \Delta x} }{{\color{Blue} \Delta x}\cdot \left ( \sqrt{x_{0}+\Delta x}+\sqrt{x_{0}} \right )}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1 }{\sqrt{x_{0}+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\Delta x}}}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{x_{0}}+\sqrt{x_{0}}}=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$

Z dowolności wyboru punktu $\dpi{120} x_{0}$ otrzymujemy:

$\dpi{120} \left (\sqrt{x} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y=\frac{x+2}{x+1}$ dla $\dpi{120} x\neq -1$ ,

Rozwiązanie

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ :

$\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+\Delta x \right )-f\left ( x _{0}\right )}{\Delta x}$

Mamy zatem dla dowolnego $\dpi{120} x_{0}\neq -1$ :

$\dpi{120} f\left ( x_{0} \right )=\frac{x_{0}+2}{x_{0}+1}$

oraz

$\dpi{120} f\left ( x_{0} +\Delta x\right )= \frac{x_{0}+\Delta x+2}{x_{0}+\Delta x+1}$

Wstawiamy do definicji:

$\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{x_{0}+\Delta x+2}{x_{0}+\Delta x+1}-\frac{x_{0}+2}{x_{0}+1}}{\Delta x}=$

Ułamki w liczniku sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{\left ( x_{0}+\Delta x+2 \right )\cdot \left ( x_{0}+1 \right )-\left ( x_{0}+\Delta x+1 \right )\cdot \left ( x_{0}+2 \right )}{\left ( x_{0}+\Delta x+1 \right )\cdot \left ( x_{0}+1 \right )}}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left ( x_{0}+\Delta x+2 \right )\cdot \left ( x_{0}+1 \right )-\left ( x_{0}+\Delta x+1 \right )\cdot \left ( x_{0}+2 \right )}{\left ( x_{0}+\Delta x+1 \right )\cdot \left ( x_{0}+1 \right )\cdot \Delta x}=$

W liczniku mnożymy wyrażenia w nawiasach i przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych:

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{{\color{Red} x_{0}^{2}}+{\color{Blue} x_{0}}+{\color{Green} \Delta x\cdot x_{0}}+{\color{Orchid} \Delta x}+{\color{Blue} 2x_{0}}+2{\color{Red} -x_{0}^{2}}{\color{Blue} -2x_{0}}{\color{Green} -\Delta x\cdot x_{0}}{\color{Orchid} -2\Delta x}{\color{Blue} -x_{0}}-2}{\left ( x_{0}+\Delta x+1 \right )\cdot \left ( x_{0}+1 \right )\cdot \Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-{\color{Red} \Delta x}}{\left ( x_{0}+\Delta x+1 \right )\cdot \left ( x_{0}+1 \right )\cdot {\color{Red} \Delta x}}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{-1}{\left ( x_{0}+\Delta x+1 \right )\cdot \left ( x_{0}+1 \right )}=$

$\dpi{120} =\frac{-1}{\left ( x_{0}+0+1 \right )\cdot \left ( x_{0}+1 \right )}=\frac{-1}{\left ( x_{0} +1\right )^{2}}$

Z dowolności wyboru punktu $\dpi{120} x_{0}$ otrzymujemy:

$\dpi{120} \left (\frac{x+2}{x+1} \right )'=\frac{-1}{\left ( x+1 \right )^{2}}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} y=\cos x$

Rozwiązanie

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}$ :

$\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+\Delta x \right )-f\left ( x _{0}\right )}{\Delta x}$

Mamy zatem dla dowolnego $\dpi{120} x_{0}\in \mathbb{R}$ :

$\dpi{120} f\left ( x_{0} \right )=\cos x_{0}$

oraz

$\dpi{120} f\left ( x_{0} +\Delta x\right )= \cos \left ( x_{0}+\Delta x \right )$

Wstawiamy do definicji:

$\dpi{120} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \cos \left ( x_{0}+\Delta x \right )- \cos x_{0}}{\Delta x}=$

W liczniku stosujemy wzór na różnicę cosinusów $\dpi{120} \cos x- \cos y=-2\sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}$ . Zatem:

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ -2\sin \frac{x_{0}+\Delta x+x_{0}}{2}\cdot \sin\frac{x_{0}+\Delta x-x_{0}}{2} }{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ -2\sin \frac{2x_{0}+\Delta x}{2}\cdot \sin\frac{\Delta x}{2} }{\Delta x}=$

$\dpi{120} =-2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \sin \left ( x_{0}+\frac{\Delta x}{2} \right )\cdot \sin\frac{\Delta x}{2} }{\Delta x}=$

$\dpi{120} =-2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sin \left ( x_{0}+\frac{\Delta x}{2} \right )\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =-2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sin \left ( x_{0}+\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\frac{\Delta x}{2}}} \right )\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left (\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}}}\cdot {\color{Red} \frac{1}{2}} \right ) =$

$\dpi{120} =-2\cdot \sin x_{0}\cdot {\color{Red} \frac{1}{2}}=- \sin x_{0}$

Z dowolności wyboru punktu $\dpi{120} x_{0}$ otrzymujemy:

$\dpi{120} \left (\cos x\right )'=-\sin x$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} y=\ln x$ w punkcie $\dpi{120} x_{0}=5$

Rozwiązanie

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}=5$ :

$\dpi{120} f'\left ( 5 \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( 5+\Delta x \right )-f\left ( 5\right )}{\Delta x}$

Mamy zatem:

$\dpi{120} f\left (5 \right )=\ln 5$

oraz

$\dpi{120} f\left ( 5 +\Delta x\right )= \ln \left (5+\Delta x \right )$

Wstawiamy do definicji:

$\dpi{120} f'\left (5 \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \ln \left ( 5+\Delta x \right )- \ln 5}{\Delta x}=$

W liczniku stosujemy wzór $\dpi{120} \ln x- \ln y=\ln\frac{x}{y}$ . Zatem:

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \ln\frac{5+\Delta x}{5}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\ln\left ( 1+\frac{\Delta x}{5} \right )}{\Delta x}=$

Wykorzystamy teraz następującą granicę $\dpi{120} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln\left ( 1+x \right )}{x}=1$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \ln\frac{5+\Delta x}{5}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\ln\left ( 1+\frac{\Delta x}{5} \right )}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{\ln\left ( 1+\frac{\Delta x}{5} \right )}{\frac{\Delta x}{5}}}}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{5}$

Zatem:

$\dpi{120} f'\left ( 5 \right )=\frac{1}{5}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} y=\sin 7 x$ w punkcie $\dpi{120} x_{0}=\frac{\pi }{14}$

Rozwiązanie

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}=\frac{\pi }{14}$ :

$\dpi{120} f'\left ( \frac{\pi }{14} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( \frac{\pi }{14}+\Delta x \right )-f\left ( \frac{\pi }{14}\right )}{\Delta x}$

Mamy zatem:

$\dpi{120} f\left ( \frac{\pi }{14} \right )=\sin \left ( 7\cdot \frac{\pi }{14}\right )= \sin \frac{\pi }{2}$

oraz

$\dpi{120} f\left ( \frac{\pi }{14}+\Delta x\right )= \sin \left [7\cdot \left ( \frac{\pi }{14}+\Delta x \right ) \right ]= \sin \left ( \frac{\pi }{2}+7\Delta x \right )$

Wstawiamy do definicji:

$\dpi{120} f'\left ( \frac{\pi }{14} \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \sin \left ( \frac{\pi }{2}+7\Delta x \right )- \sin \frac{\pi }{2}}{\Delta x}=$

W liczniku stosujemy wzór na różnicę sinusów $\dpi{120} \sin x- \sin y=2\sin \frac{x-y}{2}\cos \frac{x+y}{2}$ . Zatem:

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ 2\sin \frac{\frac{\pi }{2}+7\Delta x-\frac{\pi }{2}}{2}\cdot \cos \frac{\frac{\pi }{2}+7\Delta x+\frac{\pi }{2}}{2} }{\Delta x}=$

$\dpi{120} =2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \sin \frac{7\Delta x}{2}\cdot \cos \frac{\pi +7\Delta x}{2} }{\Delta x}=$

$\dpi{120} =2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\cos \frac{\pi +7\Delta x}{2}\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sin \frac{7\Delta x}{2}}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\underset{\rightarrow 0}{\underbrace{\cos \frac{\pi +\overset{\rightarrow 0}{\overbrace{7\Delta x}}}{2}}}\cdot \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left (\underset{\rightarrow 1}{\underbrace{\frac{\sin \frac{7\Delta x}{2}}{\frac{7\Delta x}{2}}}}\cdot \frac{2}{7} \right ) =2\cdot 0\cdot \frac{2}{7}=0$

Otrzymujemy:

$\dpi{120} f'\left ( \frac{\pi }{14} \right )=0$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 2. Zbadaj z definicji, czy istnieje pochodna funkcji $\dpi{150} f$ w punkcie $\dpi{150} x_{0}$ :

Pamiętajmy, że warunkiem koniecznym istnienia pochodnej jest ciągłość funkcji. Jeżeli funkcja nie jest ciągła w danym punkcie, to pochodna w tym punkcie nie istnieje. Wiele błędnie rozwiązanych zadań w różnych miejscach.

1) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} x^{2}-4, & x\leqslant 1\\ 3x-6, & x> 1 \end{matrix}\right.$ oraz $\dpi{120} x_{0}=1$

Rozwiązanie

Funkcja jest ciągła w punkcie $\dpi{120} x_{0}=1$ .

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}=1$ :

$\dpi{120} f'\left ( 1\right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$

Mamy, że:

$\dpi{120} f\left (1 \right )=1^{2}-4=-3$

Wstawiliśmy liczbę $\dpi{120} \small 1$ do $\dpi{120} \small x^{2}-4$ , gdyż tam dziedziną są $\dpi{120} \small x\leqslant 1$ .

Liczymy granice jednostronne w punkcie $\dpi{120} x_{0}=1$ , czyli:

$\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$ oraz $\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$ .

Jeżeli okaże się, że granica lewostronna jest równa granicy prawostronnej, to pochodna $\dpi{120} f'\left ( 1 \right )$ istnieje. Jeżeli granice te okażą się różne, to pochodna $\dpi{120} f'\left ( 1 \right )$ nie istnieje.

Zatem policzmy granicę lewostronną $\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$ . Mamy, że przy $\dpi{120} \Delta x\rightarrow 0^{-}$ :

$\dpi{120} f\left ( 1+\Delta x \right )=\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-4=1+2\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}-4=2\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}-3$

Wstawiliśmy $\dpi{120} \small 1+\Delta x$ do $\dpi{120} \small x^{2}-4$ , gdyż jeżeli do $\dpi{120} \small \Delta x$ podchodzimy z lewej strony zera ( $\dpi{120} \small \Delta x\rightarrow 0^{-}$ ), to $\dpi{120} \small 1+\Delta x< 1$ .

Wstawiamy:

$\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{2\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}-3-\left ( -3 \right )}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{2\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{\Delta x\left (2+\Delta x \right )}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\left ( 2+\Delta x \right )=2$

Liczymy granicę prawostronną $\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$ . Mamy, że przy $\dpi{120} \Delta x\rightarrow 0^{+}$ :

$\dpi{120} f\left ( 1+\Delta x \right )=3\left ( 1+\Delta x \right )-6=3+3\Delta x-6=3\Delta x-3$

Wstawiliśmy $\dpi{120} \small 1+\Delta x$ do $\dpi{120} \small 3x-6$ , gdyż jeżeli do $\dpi{120} \small \Delta x$ podchodzimy z prawej strony zera ( $\dpi{120} \small \Delta x\rightarrow 0^{+}$ ), to $\dpi{120} \small 1+\Delta x> 1$ .

Wstawiamy:

$\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{3\Delta x-3-\left ( -3 \right )}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{3\Delta x}{\Delta x}=3$

Zatem granice lewostronna i prawostronna nie są równe, więc granica $\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$ nie istnieje. Zatem funkcja $\dpi{120} f$ nie ma pochodnej w punkcie $\dpi{120} x_{0}=1$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} x^{2}-3, & x\leqslant 1\\ 2x-4, & x> 1 \end{matrix}\right.$ oraz $\dpi{120} x_{0}=1$

Rozwiązanie

Funkcja jest ciągła w punkcie $\dpi{120} x_{0}=1$ .

Zadanie wygląda podobnie do poprzedniego. Zobaczymy jednak, że wynik będzie inny. Kroki są takie same jak w podpunkcie 1).

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}=1$ :

$\dpi{120} f'\left ( 1\right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$

Mamy, że:

$\dpi{120} f\left (1 \right )=1^{2}-3=-2$

Wstawiliśmy liczbę $\dpi{120} \small 1$ do $\dpi{120} \small x^{2}-3$ , gdyż tam dziedziną są $\dpi{120} \small x\leqslant 1$ .

Liczymy granice jednostronne w punkcie $\dpi{120} x_{0}=1$ , czyli:

$\dpi{120} f\left ( 1+\Delta x \right )=\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-3=1+2\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}-3=2\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}-2$

Wstawiliśmy $\dpi{120} \small 1+\Delta x$ do $\dpi{120} \small x^{2}-3$ , gdyż jeżeli do $\dpi{120} \small \Delta x$ podchodzimy z lewej strony zera ( $\dpi{120} \small \Delta x\rightarrow 0^{-}$ ), to $\dpi{120} \small 1+\Delta x< 1$ .

Wstawiamy:

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{2\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\frac{\Delta x\left (2+\Delta x \right )}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}\left ( 2+\Delta x \right )=2$

Liczymy granicę prawostronną $\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$ . Mamy, że przy $\dpi{120} \Delta x\rightarrow 0^{+}$ :

$\dpi{120} f\left ( 1+\Delta x \right )=2\left ( 1+\Delta x \right )-4=2+2\Delta x-4=2\Delta x-2$

Wstawiliśmy $\dpi{120} \small 1+\Delta x$ do $\dpi{120} \small 2x-4$ , gdyż jeżeli do $\dpi{120} \small \Delta x$ podchodzimy z prawej strony zera ( $\dpi{120} \small \Delta x\rightarrow 0^{+}$ ), to $\dpi{120} \small 1+\Delta x> 1$ .

Wstawiamy:

$\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{2\Delta x-2-\left ( -2 \right )}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2$

Zatem granice lewostronna i prawostronna są równe, więc granica $\dpi{120} \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( 1+\Delta x \right )-f\left ( 1\right )}{\Delta x}$ istnieje i jest równa $\dpi{120} 2$ . Zatem funkcja $\dpi{120} f$ ma pochodną w punkcie $\dpi{120} x_{0}=1$ , która wynosi

$\dpi{120} f'\left ( 1 \right )=2$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}-4}{4x-8}, & x\neq 2\\ 1, & x= 2 \end{matrix}\right.$ oraz $\dpi{120} x_{0}=2$

Rozwiązanie

Funkcja jest ciągła w punkcie $\dpi{120} x_{0}=2$ .

Korzystamy z definicji pochodnej funkcji w punkcie $\dpi{120} x_{0}=2$ :

$\dpi{120} f'\left ( 2\right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2\right )}{\Delta x}$

Mamy, że:

$\dpi{120} f\left (2 \right )=1$

oraz

$\dpi{120} f\left ( 2+\Delta x\right )= \frac{\left ( 2 +\Delta x \right )^{2}-4}{4\cdot \left ( 2+\Delta x \right )-8}=\frac{4+4\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}-4}{8+4\Delta x-8}=$

$\dpi{120} =\frac{4\Delta x+\left ( \Delta x \right )^{2}}{4\Delta x}=\frac{\Delta x\cdot \left ( 4+\Delta x \right )}{4\Delta x}=\frac{4+\Delta x}{4}$

Wstawiamy do definicji:

$\dpi{120} f'\left ( 2 \right )=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{4+\Delta x}{4}-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{1+\frac{\Delta x}{4}-1}{\Delta x}=$

$\dpi{120} =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{\Delta x}{4}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{4\cdot \Delta x}=\frac{1}{4}$

Zatem pochodna wynosi:

$\dpi{120} f'\left ( 2\right )=\frac{1}{4}$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 3. Oblicz pochodną funkcji:

1) $\dpi{120} y=x^{6}-3x^{5}+2x^{2}+4-2\sin x+2\ln x,$

Rozwiązanie

Korzystamy z podstawowych pochodnych $\dpi{120} \left ( x^{n} \right )'=nx^{n-1},$ $\dpi{120} \left (\sin x \right )'=\cos x$ , $\dpi{120} \left ( \ln x \right )'=\frac{1}{x}$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (x^{6}-3x^{5}+2x^{2}+4-2\sin x+2\ln x \right )'=$

$\dpi{120} =\left ( x^{6} \right )'-3\left ( x^{5} \right )'+2\left ( x^{2} \right )'+\left ( 4 \right )'-2\left ( \sin x \right )'+2\left (\ln x \right )'=$

$\dpi{120} =6x^{5}-3\cdot 5x^{4}+2\cdot 2x+0-2\cos x+2\cdot \frac{1}{x}=$

$\dpi{120} =6x^{5}-15x^{4}+4x-2\cos x+ \frac{2}{x}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y=\frac{5x^{4}-3x^{3}-2x^{2}-7x+4}{x^{2}},$

Rozwiązanie

Najpierw przekształćmy funkcję:

$\dpi{120} y=\frac{5x^{4}-3x^{3}-2x^{2}-7x+4}{x^{2}}=\frac{5x^{4}}{x^{2}}-\frac{3x^{3}}{x^{2}}-\frac{2x^{2}}{x^{2}}-\frac{7x}{x^{2}}+\frac{4}{x^{2}} =$

$\dpi{120} =5x^{2}-3x-2-7x^{-1}+4x^{-2}.$

Liczymy pochodną ze wzoru $\dpi{120} \left ( x^{n} \right )'=nx^{n-1}$ :

$\dpi{120} y'=\left (5x^{2}-3x-2-7x^{-1}+4x^{-2} \right )'=$

$\dpi{120} =5\left ( x^{^{2}} \right )'-3\left ( x \right )'-\left ( 2 \right )'-7\left ( x^{-1} \right )'+4\left ( x^{-2} \right )'=$

$\dpi{120} =5\cdot 2x-3\cdot 1-0-7\cdot \left ( -1 \right )x^{-1-1}+4\cdot \left ( -2 \right )x^{-2-1}=$

$\dpi{120} =10x-3+7x^{-2}-8x^{-3}=$

$\dpi{120} =10x-3+\frac{7}{x^{2}}-\frac{8}{x^{3}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y=5x^{3}\cdot \sqrt{x},$

Rozwiązanie

Najpierw przekształćmy funkcję:

$\dpi{120} y=5x^{3}\cdot \sqrt{x}=5x^{3}\cdot x^{\frac{1}{2}}=5x^{\frac{7}{2}}.$

Liczymy pochodną ze wzoru $\dpi{120} \left ( x^{n} \right )'=nx^{n-1}$ :

$\dpi{120} y'=\left ( 5x^{\frac{7}{2}} \right )'=5\cdot \frac{7}{2}x^{\frac{7}{2}-1}=\frac{35}{2}x^{\frac{5}{2}}=\frac{35}{2}x^{2}\sqrt{x}.$

Ostatnie przekształcenie nie jest konieczne. Możemy pozostawić postać $\dpi{120} y'=\frac{35}{2}x^{\frac{5}{2}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} y=\frac{3x^{2}-4x\sqrt[3]{x^{2}}}{5\sqrt{x}},$

Rozwiązanie

Przekształcamy funkcję:

$\dpi{120} y=\frac{3x^{2}-4x\sqrt[3]{x^{2}}}{5\sqrt{x}}=\frac{3x^{2}-4x\cdot x^{\frac{2}{3}}}{5x^{\frac{1}{2}}}=\frac{3x^{2}}{5x^{\frac{1}{2}}}-\frac{4x^{\frac{5}{3}}}{5x^{\frac{1}{2}}}=\frac{3}{5}x^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{5}x^{\frac{7}{6}}.$

Liczymy pochodną ze wzoru $\dpi{120} \left ( x^{n} \right )'=nx^{n-1}$ :

$\dpi{120} y'=\left ( \frac{3}{5} x^{\frac{3}{2}}-\frac{4}{5}x^{\frac{7}{6}}\right )'=\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}-\frac{4}{5}\cdot \frac{7}{6}x^{\frac{7}{6}-1}=\frac{9}{10}x^{\frac{1}{2}}-\frac{14}{15}x^{\frac{1}{6}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

5) $\dpi{120} y=\sqrt[4]{x^{3}\cdot \sqrt{x\cdot \sqrt[3]{x^{2}}}},$

Rozwiązanie

Przekształcamy funkcję:

$\dpi{120} y=\sqrt[4]{x^{3}\cdot \sqrt{x\cdot \sqrt[3]{x^{2}}}}=\sqrt[4]{x^{3}\cdot \sqrt{x\cdot x^{\frac{2}{3}}}}=\sqrt[4]{x^{3}\cdot \sqrt{x^{\frac{5}{3}}}}=\sqrt[4]{x^{3}\cdot \left ( x^{\frac{5}{3}} \right )^{\frac{1}{2}}}=$

$\dpi{120} =\sqrt[4]{x^{3}\cdot x^{\frac{5}{6}}}=\sqrt[4]{x^{\frac{23}{6}}}=\left ( x^{\frac{23}{6}} \right )^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{23}{24}}.$

Liczymy pochodną ze wzoru $\dpi{120} \left ( x^{n} \right )'=nx^{n-1}$ :

$\dpi{120} y'=\left ( x^{\frac{23}{24}} \right )'=\frac{23}{24}x^{\frac{23}{24}-1}=\frac{23}{24}x^{-\frac{1}{24}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

6) $\dpi{120} y=3x^{4}\cdot \cos x,$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór na pochodną z iloczynu funkcji $\dpi{120} \left [ f\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right ) \right ]'=f'\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )\cdot g'\left ( x \right )$ . U nas $\dpi{120} f\left ( x \right )=3x^{4}$ oraz $\dpi{120} g\left ( x \right )=\cos x$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (3x^{4}\cdot \cos x \right )'=\left ( 3x^{4} \right )'\cdot \cos x+3x^{4}\cdot \overset{=-\sin x}{\overbrace{\left ( \cos x \right )'}}=$

$\dpi{120} =12x^{3 }\cos x+3x^{4}\cdot \left ( -\sin x \right )=12x^{3 }\cos x-3x^{4}\cdot \sin x .$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

7) $\dpi{120} y=5\sin x\cdot e^{x},$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór na pochodną z iloczynu funkcji $\dpi{120} \left [ f\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right ) \right ]'=f'\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )+f\left ( x \right )\cdot g'\left ( x \right )$ . U nas $\dpi{120} f\left ( x \right )=5\sin x$ oraz $\dpi{120} g\left ( x \right )=e^{x}$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (5\sin x\cdot e^{x} \right )'=\overset{=5\cos x}{\overbrace{\left ( 5\sin x \right )'}}\cdot e^{x}+ 5\sin x\cdot \overset{=e^{x}}{\overbrace{\left ( e^{x} \right )'}}=5\cos x\cdot e^{x}+5\sin x\cdot e^{x}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

8) $\dpi{120} y=\frac{3x^{3}-2x^{2}+1}{5x^{4}+6x^{2}-x},$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór na pochodną z ilorazu funkcji $\dpi{120} \left [ \frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )} \right ]'=\frac{f'\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )-f\left ( x \right )\cdot g'\left ( x \right )}{\left [ g\left ( x \right ) \right ]^{2}}$ . U nas $\dpi{120} f\left ( x \right )=3x^{3}-2x^{2}+1$ oraz $\dpi{120} g\left ( x \right )=5x^{4}+6x^{2}-x$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (\frac{3x^{3}-2x^{2}+1}{5x^{4}+6x^{2}-x} \right )'=$

$\dpi{120} =\frac{\left ( 3x^{3}-2x^{2}+1 \right )'\left ( 5x^{4}+6x^{2}-x \right )-\left ( 3x^{3}-2x^{2}+1 \right )\left ( 5x^{4}+6x^{2}-x \right )'}{\left ( 5x^{4}+6x^{2}-x \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{\left ( 9x^{2}-4x \right )\left ( 5x^{4}+6x^{2}-x \right )-\left ( 3x^{3}-2x^{2}+1 \right )\left ( 20x^{3} +12x-1\right )}{\left ( 5x^{4}+6x^{2}-x \right )^{2}}.$

Najczęściej tak możemy zostawić pochodną. Nie jest w większości przypadków wymagane wymnażanie wyrażeń i doprowadzanie do idealnej postaci. Szczególnie w coraz bardziej złożonych pochodnych byłoby to bardziej uciążliwe niż samo liczenie pochodnej.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

9) $\dpi{120} y=\frac{\ln x}{x^{2}+1},$

Rozwiązanie

Wykorzystujemy wzór na pochodną z ilorazu funkcji $\dpi{120} \left [ \frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )} \right ]'=\frac{f'\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )-f\left ( x \right )\cdot g'\left ( x \right )}{\left [ g\left ( x \right ) \right ]^{2}}$ . U nas $\dpi{120} f\left ( x \right )=\ln x$ oraz $\dpi{120} g\left ( x \right )=x^{2}+1$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (\frac{\ln x}{x^{2}+1} \right )'=\frac{\overset{=\frac{1}{x}}{\overbrace{\left ( \ln x \right )'}}\left ( x^{2}+1 \right )- \ln x\cdot \left ( x^{2}+1 \right )'}{\left ( x^{2}+1 \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{\frac{1}{x}\left ( x^{2}+1 \right )-2x\cdot \ln x}{\left ( x^{2}+1 \right )^{2}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

10) $\dpi{120} y=\frac{x\sin x}{e^{x}},$

Rozwiązanie

Najpierw stosujemy wzór na pochodną ilorazu, a następnie wzór na pochodną z iloczynu funkcji.

$\dpi{120} y'=\left (\frac{x\sin x}{e^{x}} \right )'=\frac{\left ( x\sin x \right )'\cdot e^{x}- x\sin x\cdot \overset{=e^{x}}{\overbrace{\left ( e^{x} \right )'}}}{\left ( e^{x} \right )^{2}}=$

Do nawiasu $\dpi{120} \left ( x\sin x \right )'$ stosujemy wzór na pochodną z iloczynu, czyli:

$\dpi{120} \left ( x\sin x \right )'=\overset{=1}{\overbrace{\left ( x \right )'}}\cdot \sin x+x\cdot \overset{=- \cos x}{\overbrace{ \left ( \sin x \right )'}}= \sin x-x\cos x.$

Wstawiamy do pochodnej i otrzymujemy:

$\dpi{120} y'=\frac{\left ( \sin x-x\cos x \right )\cdot e^{x}-x\sin x\cdot e^{x}}{e^{2x}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

11) $\dpi{120} y=\sqrt{x^{3}+5x+7},$ ważne

Rozwiązanie

Jest to pierwszy przykład, w którym mamy do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Ważne jest abyśmy nauczyli się rozpoznawać co jest tzw. funkcją zewnętrzną, a co jest funkcją wewnętrzną. Funkcja zewnętrzna jest to funkcja, której wartość jest liczona jako ostatnia. U nas funkcją zewnętrzną jest funkcja ”pierwiastek”. Liczymy zatem najpierw pochodną z ”pierwiastka”, a ta pochodna jest równa $\dpi{120} \left ( \sqrt{x} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Pamiętajmy, że nie możemy zmienić funkcji będącej pod pierwiastkiem (u nas $\dpi{120} x^{3}+5x+7$ ). Zatem ze wzoru na pochodną funkcji złożonej mamy:

$\dpi{120} y'=\left (\sqrt{x^{3}+5x+7} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{{\color{Red} x^{3}+5x+7}}}\cdot \overset{=3x^{2}+5}{\overbrace{\left ( {\color{Red} x^{3}+5x+7} \right )'}}=\frac{3x^{2}+5}{2\sqrt{x^{3}+5x+7}}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

12) $\dpi{120} y=\ln \cos 5x,$

Rozwiązanie

Ponownie mamy do czynienia z pochodną funkcji złożonej. Funkcją zewnętrzną jest tutaj funkcja logarytm. Wiemy, że $\dpi{120} \left ( \ln x \right )'=\frac{1}{x}$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (\ln {\color{Red} \cos 5 x }\right )'=\frac{1}{{\color{Red} \cos 5x}}\cdot \left ( {\color{Red} \cos 5x }\right )'=\frac{1}{\cos 5x }\cdot \left ( -\sin {\color{Blue} 5x} \right )\cdot \overset{=5}{\overbrace{\left ( {\color{Blue} 5x} \right )'}}=$

$\dpi{120} =\frac{-\sin 5x}{\cos 5x}\cdot 5=-5tg5x.$

Przy pochodnej z $\dpi{120} \left ( \cos 5x \right )'$ również mamy funkcję złożoną. Funkcją zewnętrzną jest cosinus, a wewnętrzną $\dpi{120} 5x$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

13) $\dpi{120} y=tgx+\frac{1}{3}tg^{3}x,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} y'=\left (tgx+\frac{1}{3}tg^{3}x \right )'=\left ( tgx \right )'+\frac{1}{3}\left ( tg^{3}x \right )'=$

Zwróćmy uwagę na pochodną $\dpi{120} \left ( tg^{3}x \right )'$ . Częstym błędem jest wskazywanie jako funkcję zewnętrzną funkcję tangens. Tutaj funkcją zewnętrzną jest ”trzecia potęga”. A więc najpierw stosujemy wzór na $\dpi{120} \left ( x^{3} \right )'=3x^{2}$ . Zatem:

$\dpi{120} \left ( tg^{3}x \right )'=3\left ( tg^{2}x \right )\cdot \left ( tgx \right )'=3tg^{2}x\cdot \frac{1}{\cos ^{2}x}.$

Wstawiając do pochodnej $\dpi{120} y'$ mamy:

$\dpi{120} y'=\frac{1}{\cos ^{2}x}+\frac{1}{3}\cdot 3tg^{2}x\cdot \frac{1}{ \cos ^{2}x}=\frac{1}{ \cos ^{2}x}+\frac{tg^{2}x}{ \cos ^{2}x}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

14) $\dpi{120} y=e^{\sqrt{\sin ^{2}5x}},$

Rozwiązanie

Dłuższy przykład, w którym występuje funkcja wielokrotnie złożona. Jako funkcję zewnętrzną przyjmujemy funkcję wykładniczą $\dpi{120} e^{x}$ , której pochodna jest równa $\dpi{120} \left ( e^{x} \right )'=e^{x}$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (e^{{ \sqrt{\sin ^{2}5x}}} \right )'=e^{{\color{Red} \sqrt{\sin ^{2}5x}}}\cdot \left ({\color{Red} \sqrt{\sin ^{2}5x}} \right )'=$

Teraz funkcją zewnętrzną jest ”pierwiastek”, którego pochodna jest równa $\dpi{120} \left ( \sqrt{x} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Mamy:

$\dpi{120} y'=e^{\sqrt{\sin ^{2}5x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{{\color{Red} \sin ^{2}5x}}}\cdot \left ( {\color{Red} \sin ^{2} 5x}\right )'=$

Ponownie, funkcją zewnętrzną jest funkcja kwadratowa. Zatem:

$\dpi{120} y'=e^{\sqrt{\sin ^{2}5x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{{ \sin ^{2}5x}}}\cdot 2\sin 5x\cdot \left ( \sin 5x \right )'$

$\dpi{120} y'=e^{\sqrt{\sin ^{2}5x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{{ \sin ^{2}5x}}}\cdot 2\sin 5x\cdot \cos {\color{Red} 5x}\cdot \overset{=5}{\overbrace{\left ( {\color{Red} 5x} \right )'}}$

$\dpi{120} y'=e^{\sqrt{\sin ^{2}5x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{{ \sin ^{2}5x}}}\cdot 5\cdot \underset{=\sin 10x}{\underbrace{2\sin 5x\cdot \cos 5x}}$

$\dpi{120} y'=e^{\sqrt{\sin ^{2}5x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{{ \sin ^{2}5x}}}\cdot 5\sin 10x.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

15) $\dpi{120} y=\ln \ln \ln x,$

Rozwiązanie

Jest to znowu funkcja złożona. Funkcją zewnętrzną jest logarytm. Mamy:

$\dpi{120} y'=\left (\ln \ln \ln x \right )'=\frac{1}{\ln \ln x}\cdot \left ( \ln \ln x \right )'=\frac{1}{\ln \ln x}\cdot\frac{1}{ \ln x}\cdot \left ( \ln x \right )'=\frac{1}{\ln \ln x}\cdot\frac{1}{ \ln x}\cdot\frac{1}{x}.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

16) $\dpi{120} y=\ln \frac{\sqrt{1+x^{3}}}{x},$

Rozwiązanie

$\dpi{120} y'=\left (\ln \frac{\sqrt{1+x^{3}}}{x} \right )'=\frac{1}{\frac{\sqrt{1+x^{3}}}{x}}\cdot \left (\frac{\sqrt{1+x^{3}}}{x} \right )'=$

Do pochodnej w nawiasie stosujemy wzór na pochodną z ilorazu:

$\dpi{120} =\frac{x}{\sqrt{1+x^{3}}}\cdot \frac{\left ( \sqrt{1+x^{3}} \right )'\cdot x-\sqrt{1+x^{3}}\cdot \left ( x \right )'}{x^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{x}{\sqrt{1+x^{3}}}\cdot \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x^{3}}}\cdot \left ( 1+x^{3} \right )'\cdot x-\sqrt{1+x^{3}}\cdot 1}{x^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{x}{\sqrt{1+x^{3}}}\cdot \frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x^{3}}}\cdot 3x^{2}\cdot x-\sqrt{1+x^{3}}}{x^{2}}.$

Możemy już tak zostawić wynik pochodnej. Można jeszcze doprowadzać ją do lepszej postaci (mnożyć, skracać), ale nie jest to konieczne.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

17) $\dpi{120} y=\sqrt[3]{x^{2}+6x-2},$

Rozwiązanie

Najpierw wyprowadźmy wzór na

$\dpi{120} \left ( \sqrt[3]{x} \right )'=\left ( x^{\frac{1}{3}} \right )'=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.$

Wracamy do naszej funkcji. Otrzymujemy:

$\dpi{120} y'=\left (\sqrt[3]{x^{2}+6x-2} \right )'=\frac{1}{3\sqrt[3]{\left (x^{2}+6x-2 \right )^{2}}}\cdot \left ( x^{2}+6x-2 \right )'$

$\dpi{120} y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{\left (x^{2}+6x-2 \right )^{2}}}\cdot \left ( 2x+6 \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

18) $\dpi{120} y=\arcsin 5x^{2}+\ln \sin 3x,$

Rozwiązanie

$\dpi{120} y'=\left (\arcsin 5x^{2}+\ln \sin 3x \right )'=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{1-\left ( 5x^{2} \right )^{2}}}\cdot \left ( 5x^{2} \right )'+\frac{1}{\sin 3x}\cdot \left ( \sin 3x \right )'=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{1- 25x^{4} }}\cdot 10x +\frac{1}{\sin 3x}\cdot\cos 3x \cdot \left ( 3x \right )'=$

$\dpi{120} =\frac{1}{\sqrt{1- 25x^{4} }}\cdot 10x +\frac{1}{\sin 3x}\cdot\cos 3x \cdot 3=$

$\dpi{120} =\frac{10x}{\sqrt{1- 25x^{4} }} +\frac{3\cos 3x}{\sin 3x}=$

$\dpi{120} =\frac{10x}{\sqrt{1- 25x^{4} }} +3ctg\, 3x$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

19) $\dpi{120} y=\frac{1}{5}\left [ \ln \left ( 1+x^{2} \right ) +\left ( \arcsin 5x \right )^{3}-x\, arctg\, 3x^{2}\right ],$

Rozwiązanie

W zakładce wzory znajdujemy pochodną $\dpi{120} \left ( arctgx \right )'=\frac{1}{1+x^{2}}$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left [\frac{1}{5}\left [ \ln \left ( 1+x^{2} \right ) +\left ( \arcsin 5x \right )^{3}-x\, arctg\, 3x^{2}\right ] \right ]'=$

$\dpi{120} =\frac{1}{5}\left [ \frac{1}{1+x^{2}}\cdot \left ( 1+x^{2} \right ) '+3\left ( \arcsin 5x \right )^{2}\cdot \left ( \arcsin 5x \right )'-\left [\left (x \right )'\cdot \, arctg\, 3x^{2} +x\cdot \left ( arctg3x^{2} \right )' \right ]\right ] =$

$\dpi{120} =\frac{1}{5}\left [ \frac{1}{1+x^{2}}\cdot 2x+3\left ( \arcsin 5x \right )^{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\left ( 5x \right )^{2}}}\cdot \left ( 5x \right )'-\left [1\cdot \, arctg\, 3x^{2} +x\cdot \frac{1}{1+\left ( 3x^{2} \right )^{2}}\cdot \left ( 3x^{2} \right )'\right ]\right ] =$

$\dpi{120} =\frac{1}{5}\left [ \frac{2x}{1+x^{2}}+3\left ( \arcsin 5x \right )^{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-25x^{2}}}\cdot 5-\left [ arctg\, 3x^{2} + \frac{x}{1+9x^{4}}\cdot 6x\right ]\right ] =$

$\dpi{120} =\frac{1}{5}\left [ \frac{2x}{1+x^{2}}+15\left ( \arcsin 5x \right )^{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-25x^{2}}}-arctg\, 3x^{2} -\frac{6x^{2}}{1+9x^{4}}\right ]$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

20) $\dpi{120} y=arctg\frac{x}{1+\sqrt{1+x^{2}}},$

Rozwiązanie

W zakładce wzory znajdujemy pochodną $\dpi{120} \left ( arctgx \right )'=\frac{1}{1+x^{2}}$ . Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (arctg\frac{x}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \right )'=\frac{1}{1+\left (\frac{x}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \right )^{2}}\cdot \left (\frac{x}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \right )'$

$\dpi{120} y'=\frac{1}{1+\left (\frac{x}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \right )^{2}}\cdot \frac{\left ( x \right )'\cdot\left ( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right )-x\cdot \left ( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right )' }{\left ( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right )^{2}}$

$\dpi{120} y'=\frac{1}{1+\left (\frac{x}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \right )^{2}}\cdot \frac{1\cdot\left ( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right )-x\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot \left ( 1+x^{2} \right )' }{\left ( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right )^{2}}$

$\dpi{120} y'=\frac{1}{1+\left (\frac{x}{1+\sqrt{1+x^{2}}} \right )^{2}}\cdot \frac{ 1+\sqrt{1+x^{2}} -x\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot 2x }{\left ( 1+\sqrt{1+x^{2}} \right )^{2}}.$

Możemy już tak zostawić wynik pochodnej. Można jeszcze doprowadzać ją do lepszej postaci (mnożyć, skracać), ale nie jest to konieczne.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

21) $\dpi{120} y=e^{-4x}\left ( \sin 6x^{2} +\ln \cos 7x\right ),$

Rozwiązanie

Zaczynamy od wzoru na pochodną z iloczynu.

$\dpi{120} y'=\left (e^{-4x}\left ( \sin 6x^{2} +\ln \cos 7x\right ) \right )'$

$\dpi{120} y'=\left ( e^{-4x} \right )'\cdot\left ( \sin 6x^{2} +\ln \cos 7x\right )+e^{-4x}\cdot \left ( \sin 6x^{2} +\ln \cos 7x\right )'$

$\dpi{120} y'=e^{-4x}\cdot \left ( -4x \right )'\cdot\left ( \sin 6x^{2} +\ln \cos 7x\right )+e^{-4x}\cdot \left [ \cos 6x^{2}\cdot \left ( 6x^{2} \right )'+\frac{1}{\cos 7x } \cdot \left ( \cos 7x \right )'\right ]$

$\dpi{120} y'=-4e^{-4x}\cdot\left ( \sin 6x^{2} +\ln \cos 7x\right )+e^{-4x}\cdot \left [12x\cdot \cos 6x^{2}+\frac{1}{\cos 7x } \cdot \left ( -\sin 7x \right )\cdot 7\right ].$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

22) $\dpi{120} y=arctg\sqrt{x^{2}-1}-\frac{\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}}.$

Rozwiązanie

$\dpi{120} y'=\left (arctg\sqrt{x^{2}-1}-\frac{\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}} \right )'=\left ( arctg\sqrt{x^{2}-1} \right )'-\left ( \frac{\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}} \right )'$

Najpierw policzmy:

$\dpi{120} \left ( arctg\sqrt{x^{2}-1} \right )'=\frac{1}{1+\left ( \sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}}\cdot \left ( \sqrt{x^{2}-1} \right )'=$

$\dpi{120} =\frac{1}{1+x^{2}-1}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}}\cdot \left ( x^{2}-1 \right )'=$

$\dpi{120} =\frac{1}{x^{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}}\cdot 2x=$

$\dpi{120} =\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}.$

Teraz

$\dpi{120} \left ( \frac{\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}} \right )'=\frac{\left ( \ln x \right )'\cdot \sqrt{x^{2}-1}- \ln x\cdot \left ( \sqrt{x^{2}-1} \right )'}{\left (\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{\frac{1}{x}\cdot \sqrt{x^{2}-1}- \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}}\cdot \left ( x^{2}-1 \right )'}{\left (\sqrt{x^{2}-1} \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{\frac{1}{x}\cdot \sqrt{x^{2}-1}- \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}}\cdot 2x}{x^{2}-1 }.$

Wstawiamy do wyjściowej pochodnej:

$\dpi{120} y'=\left ( arctg\sqrt{x^{2}-1} \right )'-\left ( \frac{\ln x}{\sqrt{x^{2}-1}} \right )'$

$\dpi{120} y'=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}-\frac{\frac{1}{x}\cdot \sqrt{x^{2}-1}- \ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2}-1}}\cdot 2x}{x^{2}-1 }.$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 4. Obliczyć tzw. pochodne logarytmiczne.

Uwaga! Jest to specyficzny schemat rozwiązania. Koniecznie należy się z nim zapoznać.

1) $\dpi{120} y=x^{\sin x},$

Rozwiązanie

Nie możemy bezpośrednio zastosować żadnego z podstawowych wzorów, gdyż zmienna $\dpi{120} x$ znajduje się zarówno w podstawie, jak i w wykładniku potęgi.

1 Krok

Podstawę potęgi (u nas $\dpi{120} x$ ) należy przedstawić jako:

$\dpi{120} {\color{Red} x}=e^{\ln {\color{Red} x}}$

Pamiętajmy, że funkcje $\dpi{120} e^{x}$ oraz $\dpi{120} \ln x$ są funkcjami odwrotnymi. Stąd powyższa równość jest prawdziwa.

2 Krok

Równość z Kroku 1 podnosimy stronami do odpowiedniej potęgi (u nas do $\dpi{120} \sin x$ ).

$\dpi{120} x=e^{\ln x}/\left ( \right )^{\sin x}$

$\dpi{120} x^{\sin x}=\left ( e^{\ln x} \right )^{ \sin x}$

$\dpi{120} x^{\sin x}= e^{\ln x\cdot \sin x}$

3 Krok

Liczymy pochodną tak przekształconej funkcji (z pochodnej funkcji złożonej):

$\dpi{120} y'=\left (x^{\sin x} \right )'=\left (e^{\ln x\cdot \sin x} \right )'=\overset{=x^{\sin x}}{\overbrace{e^{\ln x\cdot \sin x}}} \cdot \left ( \ln x\cdot \sin x \right )'=$

$\dpi{120} =x^{\sin x}\cdot \left ( \left ( \ln x \right )'\cdot \sin x+\ln x\cdot \left ( \sin x \right )' \right )=$ (korzystamy z pochodnej iloczynu funkcji)

$\dpi{120} =x^{\sin x}\cdot \left ( \frac{1}{x}\cdot \sin x+\ln x\cdot \cos x \right ).$

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

2) $\dpi{120} y=\left (\sin x \right )^{\cos x},$

Rozwiązanie

1 Krok

Podstawę potęgi (u nas $\dpi{120} \sin x$ ) należy przedstawić jako:

$\dpi{120} {\color{Red} \sin x}=e^{\ln {\color{Red} \sin x}}$

Pamiętajmy, że funkcje $\dpi{120} e^{x}$ oraz $\dpi{120} \ln x$ są funkcjami odwrotnymi. Stąd powyższa równość jest prawdziwa.

2 Krok

Równość z Kroku 1 podnosimy stronami do odpowiedniej potęgi (u nas do $\dpi{120} \cos x$ ).

$\dpi{120} \sin x=e^{\ln \sin x}/\left ( \right )^{\cos x}$

$\dpi{120} \left (\sin x \right )^{\cos x}=\left (e^{\ln \sin x} \right )^{ \cos x}$

$\dpi{120} \left (\sin x \right )^{\cos x}=e^{\ln \sin x\cdot \cos x}$

3 Krok

Liczymy pochodną tak przekształconej funkcji (z pochodnej funkcji złożonej):

$\dpi{120} y'=\left (\left (\sin x \right )^{\cos x} \right )'=\left (e^{\ln \sin x\cdot \cos x} \right )'=\overset{\left ( \sin x \right )^{\cos x}}{\overbrace{e^{\ln \sin x\cdot \cos x}}}\cdot \left (\ln \sin x\cdot \cos x \right )'=$

$\dpi{120} =\left ( \sin x \right )^{\cos x}\cdot \left [ \left ( \ln \sin x \right )'\cdot \cos x+\ln \sin x\cdot \left ( \cos x \right )' \right ]=$ (korzystamy z pochodnej iloczynu funkcji)

$\dpi{120} =\left ( \sin x \right )^{\cos x}\cdot \left [ \frac{1}{{\color{Red} \sin x}}\cdot \left ( {\color{Red} \sin x} \right )'\cdot \cos x+\ln \sin x\cdot \left ( - \sin x \right )\right ]=$ (złożenie funkcji)

$\dpi{120} =\left ( \sin x \right )^{\cos x}\cdot \left ( \frac{1}{\sin x}\cdot \cos x\cdot \cos x-\ln \sin x\cdot \sin x \right )=$

$\dpi{120} =\left ( \sin x \right )^{\cos x}\cdot \left ( \frac{\cos ^{2}x}{\sin x}-\sin x\cdot \ln \sin x\right ).$

Uważajmy na pochodne funkcji złożonych.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

3) $\dpi{120} y=\left ( \ln x \right )^{x},$

Rozwiązanie

1 Krok

Podstawę potęgi (u nas $\dpi{120} \ln x$ ) należy przedstawić jako:

$\dpi{120} {\color{Red} \ln x}=e^{\ln {\color{Red} \ln x}}$

Pamiętajmy, że funkcje $\dpi{120} e^{x}$ oraz $\dpi{120} \ln x$ są funkcjami odwrotnymi. Stąd powyższa równość jest prawdziwa.

2 Krok

Równość z Kroku 1 podnosimy stronami do odpowiedniej potęgi (u nas do $\dpi{120} x$ ).

$\dpi{120} \ln x=e^{\ln \ln x}/\left ( \right )^{ x}$

$\dpi{120} \left (\ln x \right )^{ x}=\left (e^{\ln \ln x} \right )^{ x}$

$\dpi{120} \left (\ln x \right )^{ x}=e^{x\cdot \ln \ln x}$

3 Krok

Liczymy pochodną tak przekształconej funkcji (z pochodnej funkcji złożonej):

$\dpi{120} y'=\left (\left (\ln x \right )^{ x} \right )'=\left (e^{x\cdot \ln \ln x} \right )'=\overset{\left ( \ln x \right )^{ x}}{\overbrace{e^{x\cdot \ln \ln x}}}\cdot \left (x\cdot \ln \ln x\right )'=$

$\dpi{120} =\left ( \ln x \right )^{ x}\cdot \left [ \left ( x \right )'\cdot \ln \ln x +x\cdot \left (\ln \ln x \right )'\right ]=$ (korzystamy z pochodnej iloczynu funkcji)

$\dpi{120} =\left ( \ln x \right )^{ x}\cdot \left [ 1\cdot \ln \ln x +x\cdot \frac{1}{{\color{Red} \ln x}}\cdot \left ( {\color{Red} \ln x} \right )'\right ]=$ (funkcja złożona)

$\dpi{120} =\left ( \ln x \right )^{ x}\cdot \left ( \ln \ln x +{\color{Blue} x}\cdot \frac{1}{{ \ln x}}\cdot \frac{1}{{\color{Blue} x}}\right )=$

$\dpi{120} =\left ( \ln x \right )^{ x}\cdot \left ( \ln \ln x + \frac{1}{{ \ln x}}\right ).$

Uważajmy na pochodne funkcji złożonych.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

4) $\dpi{120} \left ( tgx \right )^{\frac{1}{\cos x}}.$

Rozwiązanie

1 Krok

Podstawę potęgi (u nas $\dpi{120} tg x$ ) należy przedstawić jako:

$\dpi{120} {\color{Red} tg x}=e^{\ln {\color{Red} tg x}}$

Pamiętajmy, że funkcje $\dpi{120} e^{x}$ oraz $\dpi{120} \ln x$ są funkcjami odwrotnymi. Stąd powyższa równość jest prawdziwa.

2 Krok

Równość z Kroku 1 podnosimy stronami do odpowiedniej potęgi (u nas do $\dpi{120} \frac{1}{\cos x}$ ).

$\dpi{120} tg x=e^{\ln tg x}/\left ( \right )^{ \frac{1}{\cos x}}$

$\dpi{120} \left (tg x \right )^{ \frac{1}{\cos x}}=\left (e^{\ln tg x} \right )^{ \frac{1}{ \cos x}}$

$\dpi{120} \left (tg x \right )^{ \frac{1}{\cos x}}=e^{\ln tg x\cdot \frac{1}{ \cos x}}$

$\dpi{120} \left (tg x \right )^{ \frac{1}{\cos x}}=e^{\frac{\ln tg x}{\cos x}}$

3 Krok

Liczymy pochodną tak przekształconej funkcji (z pochodnej funkcji złożonej):

$\dpi{120} y'=\left (\left (tg x \right )^{ \frac{1}{\cos x}} \right )'=\left (e^{\frac{\ln tg x}{ \cos x} } \right )'=\overset{\left ( tg x \right )^{ \frac{1}{ \cos x}}}{\overbrace{e^{\frac{\ln tg x}{ \cos x}}}}\cdot \left (\frac{\ln tg x}{ \cos x}\right )'=$

$\dpi{120} =\left ( tgx \right )^{\frac{1}{\cos x}}\cdot \frac{\left ( \ln tgx \right )'\cdot \cos x -\ln tgx\cdot \left ( \cos x \right )'}{\left ( \cos x \right )^{2}}=$ (korzystamy z pochodnej ilorazu funkcji)

$\dpi{120} =\left ( tgx \right )^{\frac{1}{\cos x}}\cdot \frac{\frac{1}{{\color{Red} tgx}}\cdot \left ( {\color{Red} tgx }\right )'\cdot \cos x -\ln tgx\cdot \left ( -\sin x \right )}{\left ( \cos x \right )^{2}}=$ (funkcja złożona)

$\dpi{120} =\left ( tgx \right )^{\frac{1}{\cos x}}\cdot \frac{\frac{1}{tgx}\cdot \frac{1}{\cos ^{2}x}\cdot \cos x +\ln tgx\cdot \sin x }{ \cos^{2} x }=$

$\dpi{120} =\left ( tgx \right )^{\frac{1}{\cos x}}\cdot \frac{\frac{1}{tgx}\cdot \frac{1}{\cos x} +\ln tgx\cdot \sin x }{ \cos^{2} x }.$

Uważajmy na pochodne funkcji złożonych.

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 5. Wyznacz punkty, w których styczna do krzywej o równaniu jest równoległa do osi $\dpi{120} Ox$ .

Rozwiązanie

Z zakładki Teoria wiemy, że współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy tangensowi kąta pomiędzy tą krzywą a osią $\dpi{120} Ox$ . Jeżeli styczna jest równoległa do osi $\dpi{120} Ox$ to znaczy, że tworzy z nią kąt $\dpi{120} 0$ . Wobec tego tangens tego kąta jest równy:

$\dpi{120} tg\, 0=0.$

Z drugiej strony wiemy, że współczynnik ten jest to pochodna funkcji w danym punkcie. Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (\frac{1}{1+x^{2}} \right )'=\frac{\overset{=0}{\overbrace{\left ( 1 \right )'}}\cdot \left ( 1+x^{2} \right )-1\cdot \overset{=2x}{\overbrace{\left ( 1+x^{2} \right )'}}}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}=\frac{-2x}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}.$

Porównując te dwie rzeczy dostajemy do rozwiązania równanie:

$\dpi{120} \frac{-2x}{\left ( 1+x^{2} \right )^{2}}=0\Rightarrow -2x=0\Rightarrow x=0.$

Szukanym punktem jest $\dpi{120} \left ( 0,\frac{1}{1+0^{2}} \right )=\left ( 0,1 \right )$ . Wstawiliśmy liczbę $\dpi{120} 0$ do funkcji $\dpi{120} y=\frac{1}{1+x^{2}}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń

Zadanie 6. W jakim punkcie styczna do krzywej $\dpi{120} y=\frac{x-8}{x+1}$ tworzy z osią $\dpi{120} Ox$ kąt równy połowie kąta prostego?

Rozwiązanie

Z zakładki Teoria wiemy, że współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w danym punkcie jest równy tangensowi kąta pomiędzy tą krzywą a osią $\dpi{120} Ox$ . Jeżeli styczna tworzy z osią $\dpi{120} Ox$ kąt równy połowie kąta prostego to znaczy, że tworzy z nią kąt $\dpi{120} \frac{\pi }{4}$ . Wobec tego tangens tego kąta jest równy:

$\dpi{120} tg\frac{\pi }{4}=1.$

Z drugiej strony wiemy, że ten współczynnik jest to pochodna funkcji w danym punkcie. Zatem:

$\dpi{120} y'=\left (\frac{x-8}{x+1} \right )'=\frac{\overset{=1}{\overbrace{\left ( x-8 \right )'}}\cdot \left ( x+1 \right )-\left ( x-8 \right )\cdot \overset{=1}{\overbrace{\left (x+1 \right )'}}}{\left ( x+1 \right )^{2}}=$

$\dpi{120} =\frac{x+1-x+8}{\left ( x+1 \right )^{2}}=\frac{9}{\left ( 1+x \right )^{2}}.$

Porównując te dwie rzeczy dostajemy do rozwiązania równanie:

$\dpi{120} \frac{9}{\left ( x+1 \right )^{2}}=1/\left ( 1+x \right )^{2}$

$\dpi{120} 9=\left ( 1+x \right )^{2}$

$\dpi{120} 1+x=3\; \; \vee \; \; 1+x=-3$

$\dpi{120} x_{1}=2\; \; \vee \; \; x_{2}=-4$

Szukanymi punktami są $\dpi{120} \left ( -4,\frac{-4-8}{-4+1} \right )=\left ( -4,3 \right )$ oraz $\dpi{120} \left ( 2,\frac{2-8}{2+1} \right )=\left ( 2,-2 \right )$ . Wstawiliśmy liczby $\dpi{120} -4$ i $\dpi{120} 2$ do funkcji $\dpi{120} y=\frac{x-8}{x+1}$ .

Pokaż rozwiązanie

Zwiń