Mamy 6 zadań. Zostały one podzielone zgodnie z wprowadzonymi grupami w zakładce Wzory tutaj. Ostatnie zadanie jest „mieszanką” wszystkich typów szeregów. Najpierw należy je sklasyfikować, a następnie wybrać odpowiedni schemat. Dlatego zaleca się rozwiązywanie zadań (i podpunktów w zadaniach) w kolejności podanej na stronce. Zadanie 1 jest ambitniejsze i badamy w nim zbieżność szeregów z definicji (a nie z kryteriów).
Zadanie 1. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych z definicji.
1)
Rozwiązanie Liczymy tzw. n-tą sumę częściową Zauważmy, że każdy składnik tej sumy daje się przedstawić w postaci Następnie zauważmy, że skracają się prawie wszystkie składniki. Dostajemy: Liczymy granicę ciągu Ponieważ granica jest skończona, więc szereg :
Zatem:
:
jest zbieżny.
2)
Rozwiązanie Liczymy tzw. n-tą sumę częściową Zauważmy, że każdy składnik tej sumy daje się przedstawić w postaci Zatem: Następnie zauważmy, że skracają się prawie wszystkie składniki. Dostajemy: Liczymy granicę ciągu Ponieważ granica jest skończona, więc szereg :
:
jest zbieżny.
3)
Rozwiązanie Liczymy tzw. n-tą sumę częściową Zauważmy, że w nawiasie otrzymaliśmy wzór na n-tą sumę ciągu geometrycznego Liczymy granicę ciągu Ponieważ granica jest nieskończona, więc szereg :
. Stąd:
:
jest rozbieżny.
4)
Rozwiązanie I sposób Powinniśmy liczyć tzw. n-tą sumę częściową Łączymy potęgi z plusami i minusami do nawiasów: Zauważmy, że w nawiasach otrzymaliśmy wzór na n-tą sumę ciągu geometrycznego Liczymy granicę ciągu Wyrażenie Ponieważ granica jest skończona, więc szereg II sposób Liczymy bezpośrednio sumę Otrzymaliśmy dwa ciągi geometryczne nieskończone. Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego , ale ze względu na postać naszego szeregu liczymy
:
. Zauważmy, że w każdym nawiasie jest
wyrazów,
(w obydwu nawiasach) oraz
(dla pierwszego nawiasu) i
(dla drugiego nawiasu). Stąd:
:
, gdy
. Zatem:
jest zbieżny , a jego suma wynosi
.
. Zatem:
Zadanie 2. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych (kryterium d’Alemberta, Grupa I z zakładki Wzory tutaj):
1)
Rozwiązanie W kryterium d’Alemberta liczymy granicę Zatem: Nie chcemy tworzyć ułamków piętrowych, taki zapis jest wygodniejszy. Wyraz Po skróceniu otrzymujemy: Ponieważ granica jest mniejsza od 1, więc szereg . Mamy, że:
oraz
rozpisujemy z definicji silni oraz z własności potęg:
(na podstawie kryt. d’Alemberta) jest zbieżny.
2)
Rozwiązanie W kryterium d’Alemberta liczymy granicę Zatem: Nie chcemy tworzyć ułamków piętrowych, taki zapis jest wygodniejszy. Wyraz Po skróceniu otrzymujemy: Ponieważ granica jest większa od 1, więc szereg . Mamy, że:
oraz
rozpisujemy z definicji silni oraz z własności potęg:
(na podstawie kryt. d’Alemberta) jest rozbieżny.
3)
Rozwiązanie W kryterium d’Alemberta liczymy granicę Zatem: Nie chcemy tworzyć ułamków piętrowych, taki zapis jest wygodniejszy. Wyraz Po skróceniu otrzymujemy: Ponieważ granica jest mniejsza od 1, więc szereg . Mamy, że:
oraz
rozpisujemy z definicji silni oraz z własności potęg:
(na podstawie kryt. d’Alemberta) jest zbieżny.
4) ważny!
Rozwiązanie Jest to przykład, który w sposób wyraźny łączy wiedzę o szeregach z wiadomościami z granic ciągów. Bardzo często podobne ciągi pojawiają się na egzaminach i kolokwiach. Podobnie jak poprzednio znajdujemy zaś Proszę uważać na częste błędy w Liczymy granicę: Po skróceniu dostajemy: Zauważmy, że dostaliśmy granicę z wykorzystaniem liczby Ponieważ granica jest mniejsza od 1, więc szereg i
. Mamy:
, np. nie wstawienie do podstawy potęgi
.
. Zatem:
(na podstawie kryt. d’Alemberta) jest zbieżny.
5)
Rozwiązanie Znajdujemy zaś Liczymy granicę: Ponieważ granica jest większa od 1, więc szereg i
. Mamy:
(na podstawie kryt. d’Alemberta) jest rozbieżny.
Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych (kryterium Cauchy’ego, grupa II z zakładki Wzory tutaj):
1)
Rozwiązanie W kryterium Cauchy’ego liczymy granicę Wykorzystaliśmy tutaj granicę, która pojawiła się przy tw. o trzech ciągach, a mianowicie Ponieważ granica jest mniejsza od 1, więc na podstawie kryterium Cauchy’ego szereg . Wiemy, że
, więc:
jest zbieżny.
2)
Rozwiązanie W kryterium Cauchy’ego liczymy granicę Pamiętajmy, że pierwiastek z iloczynu (ilorazu) jest równy iloczynowi (ilorazowi) pierwiastków, co oznacza, że możemy rozdzielić pierwiastek tam gdzie mamy iloczyn bądź iloraz. Zatem: Wykorzystaliśmy tutaj granicę, która pojawiła się przy tw. o trzech ciągach, a mianowicie Ponieważ granica jest większa od 1, więc szereg . Wiemy, że
, więc:
na podstawie kryterium Cauchy’ego jest rozbieżny.
3)
Rozwiązanie W kryterium Cauchy’ego liczymy granicę Ponieważ granica jest mniejsza od 1, więc na podstawie kryterium Cauchy’ego szereg . Wiemy, że
więc:
jest zbieżny.
4)
Rozwiązanie W kryterium Cauchy’ego liczymy granicę Ponieważ granica jest większa od 1, więc szereg . Wiemy, że
więc:
na podstawie kryterium Cauchy’ego jest rozbieżny.
5)
Rozwiązanie W kryterium Cauchy’ego liczymy granicę Ponieważ granica jest mniejsza od 1, więc szereg . Wiemy, że
więc:
na podstawie kryterium Cauchy’ego jest zbieżny.
Zadanie 4. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych (kryterium porównawcze – obie wersje, grupa III i IV z zakładki Wzory tutaj):
1) gr. III
Rozwiązanie Jest to ciąg, którego wyraz ogólny zawiera funkcję sinus, więc możemy zastosować kryterium porównawcze (ilorazowe), które zacytowaliśmy w grupie III zakładka Wzory. W kryterium tym występują dwa ciągi W kryterium tym pojawia się granica Do mianownika dopisaliśmy ciąg o wyrazie ogólnym Podsumowując, do mianownika dopisaliśmy ciąg o wyrazie ogólnym Zatem nasz szereg oraz
. Jako
przyjmujemy:
. Najczęściej przyjmujemy
. Zatem ciąg
dobieramy tak, aby granica ta równała się 1. A więc:
. Po pierwsze (na czerwono), dopisaliśmy czynnik, który możemy skrócić. Po drugie (na niebiesko), wykorzystujemy granicę
o ile
. Dopisany jest zatem w mianowniku argument sinusa czyli
.
zachowuje się tak samo jak szereg
. W zakładce Teoria pojawił się tzw. szereg harmoniczny rzędu
. Szereg
jest to właśnie szereg harmoniczny rzędu
. Ponieważ
więc
jest szeregiem zbieżnym, a tym samym szereg
jest szeregiem zbieżnym.
2)
Rozwiązanie Podobnie jak w przykładzie poprzednim, jako gdyż Wobec tego nasz szereg zaś do mianownika jako
wpisujemy:
oraz
. Do mianownika dopisaliśmy zatem:
zachowuje się tak samo jak szereg
. Szereg
jest szeregiem harmonicznym rzędu
, a więc szeregiem zbieżnym. Na podstawie kryterium porównawczego również szereg
jest zbieżny.
3)
Rozwiązanie Podobnie jak w przykładzie poprzednim, jako gdyż Wobec tego nasz szereg zaś do mianownika jako
wpisujemy:
. Do mianownika dopisaliśmy zatem:
zachowuje się tak samo jak szereg
. Szereg
jest szeregiem harmonicznym rzędu
, a więc szeregiem zbieżnym. Na podstawie kryterium porównawczego również szereg
jest zbieżny.
4)
Rozwiązanie Podobnie jak w przykładzie poprzednim, jako gdyż Wobec tego nasz szereg zaś do mianownika jako
wpisujemy:
oraz
. Do mianownika dopisaliśmy zatem:
zachowuje się tak samo jak szereg
. Szereg
jest szeregiem harmonicznym rzędu
, a więc szeregiem zbieżnym. Na podstawie kryterium porównawczego również szereg
jest zbieżny.
5) gr. IV
Rozwiązanie Jest to szereg do zbieżności którego wykorzystujemy kryterium porównawcze (klasyczne, grupa IV zakładka Wzory). Krok 1. Badamy ”różnicę stopni” pomiędzy licznikiem a mianownikiem. U nas najwyższy stopień licznika wynosi jeden, zaś mianownika trzy. Wobec tego nasz szereg ”jest podobny” do szeregu Uwaga! Sprawdzić przy tego typu szeregach (nawet w pamięci), czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności Wiemy już, że Krok 2. Aby wykazać zbieżność Aby zwiększyć ułamek: licznik zwiększamy, a mianownik zmniejszamy. Jak to zrobić? Po pierwsze, zastanawiamy się, czy możemy opuścić ”nie pasujące” składniki jakimi są: w liczniku -2, w mianowniku 1. Jeżeli w liczniku opuścimy liczbę -2, to licznik zwiększymy, a tym samym zwiększymy cały ułamek. A więc pasuje. Podobnie w mianowniku. Możemy opuścić liczbę 1, gdyż zmniejszamy w ten sposób mianownik, a więc ułamek zwiększamy. A o to nam chodziło. Gdybyśmy nie mogli opuszczać składników, jest inna droga, o której w kolejnych przykładach. Otrzymaliśmy zatem: O szeregu Jest to kryterium, które sprawia najwięcej problemów studentom..
. U nas
– spełniony warunek konieczny zbieżności.
jest szeregiem zbieżnym jako szereg harmoniczny rzędu
. Będziemy zatem wykazywać również zbieżność szeregu
.
musimy oszacować go od góry (kryt. porównawcze klasyczne zbieżności), tzn. zwiększyć wartość wyrazu ogólnego:
wiemy, że jest zbieżny, więc na podstawie kryterium porównawczego szereg
jest również zbieżny.
6)
Rozwiązanie Krok 1. Badamy ”różnicę stopni” pomiędzy licznikiem a mianownikiem. U nas najwyższy stopień licznika wynosi jeden, zaś mianownika dwa. Wobec tego nasz szereg ”jest podobny” do szeregu Uwaga! Sprawdzić przy tego typu szeregach, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności Wiemy już, że Krok 2. Aby wykazać rozbieżność Aby zmniejszyć ułamek: licznik zmniejszamy, a mianownik zwiększamy. Zastanawiamy się, czy możemy opuścić ”nie pasujące” składniki jakimi są: w liczniku 3, w mianowniku 4. Jeżeli w liczniku opuścimy liczbę 3, to licznik zmniejszymy, a tym samym zmniejszymy cały ułamek. A więc pasuje. W mianowniku mamy inną sytuację. Gdybyśmy opuścili liczbę 4, mianownik zmniejszylibyśmy, a cały ułamek zwiększylibyśmy. Nie pasuje do sytuacji. Jeżeli nie możemy opuścić składnika, to wówczas dopisujemy (u nas do 4) odpowiednią potęgę tak, aby później można było dodać potęgi (u nas dopisujemy Otrzymaliśmy zatem: O szeregu .
. U nas
– spełniony warunek konieczny zbieżności.
jest szeregiem rozbieżnym jako szereg harmoniczny rzędu
. Będziemy zatem wykazywać również rozbieżność szeregu
.
musimy oszacować go od dołu (kryt. porównawcze klasyczne rozbieżności), tzn. zmniejszyć wartość wyrazu ogólnego:
). W ten sposób zwiększyliśmy mianownik, a tym samym zmniejszyliśmy ułamek.
wiemy, że jest rozbieżny, więc na podstawie kryterium porównawczego szereg
jest również rozbieżny.
7)
Rozwiązanie W tym szeregu zanim zaczniemy go szacować, musimy usunąć z licznika wyrażenie nieoznaczone Krok 1. Badamy ”różnicę stopni” pomiędzy licznikiem a mianownikiem. U nas najwyższy stopień licznika wynosi zero, zaś mianownika Uwaga! Sprawdzić przy tego typu szeregach, czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności Wiemy już, że Krok 2. Aby wykazać zbieżność Aby zwiększyć ułamek: licznik zwiększamy, a mianownik zmniejszamy. Zastanawiamy się, czy możemy opuścić ”nie pasujący” składnik czyli liczba 1 w mianowniku. Licznik ma dobrą postać. Liczbę 1 z mianownika możemy opuścić, gdyż zmniejszamy w ten sposób mianownik, a więc ułamek zwiększamy. A o to nam chodziło. Otrzymaliśmy zatem: O szeregu . Robimy to analogicznie rachunków w granicach ciągów, czyli mnożymy przez tzw. sprzężenie:
. Wobec tego nasz szereg ”jest podobny” do szeregu
.
. U nas
– spełniony warunek konieczny zbieżności.
jest szeregiem zbieżnym jako szereg harmoniczny rzędu
. Będziemy zatem wykazywać również zbieżność szeregu
.
musimy oszacować go od góry (kryt. porównawcze klasyczne zbieżności), tzn. zwiększyć wartość wyrazu ogólnego:
wiemy, że jest zbieżny, więc na podstawie kryterium porównawczego szereg
jest również zbieżny.
8)
Rozwiązanie Różnica stopni pomiędzy licznikiem a mianownikiem wynosi jeden ( Aby wykazać rozbieżność Aby zmniejszyć ułamek: licznik zmniejszamy, a mianownik zwiększamy. Zastanawiamy się, czy możemy opuścić ”nie pasujący” składnik czyli Otrzymaliśmy zatem: O szeregu jest pod pierwiastkiem). Zatem szereg
zachowuje się jak szereg
. Będziemy zatem wykazywali rozbieżność, gdyż
jest rozbieżny.
musimy oszacować go od dołu (kryt. porównawcze klasyczne rozbieżności), tzn. zmniejszyć wartość wyrazu ogólnego:
w mianowniku. Licznik ma dobrą postać. W mianowniku gdybyśmy opuścili
, mianownik zmniejszylibyśmy, a cały ułamek zwiększylibyśmy. Nie pasuje do sytuacji. Jeżeli nie możemy opuścić składnika, to dopiszmy odpowiednią potęgę tak, aby później można było dodać te potęgi (u nas dopisujemy
). W ten sposób zwiększyliśmy mianownik, a tym samym zmniejszyliśmy ułamek.
wiemy, że jest rozbieżny, więc na podstawie kryterium porównawczego szereg
jest również rozbieżny.
Zadanie 5. Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową szeregów liczbowych:
1)
Rozwiązanie Badamy zbieżność bezwzględną: Jest to szereg o wyrazach dodatnich jaki badaliśmy w poprzednich zadaniach. Do określenia jego zbieżności należy zastosować odpowiednie kryterium. W tym przykładzie jest to kryterium Cauchy’ego. Mamy Stąd szereg . Liczymy granicę:
jest zbieżny, a więc szereg
jest zbieżny bezwzględnie.
2)
Rozwiązanie Badamy zbieżność bezwzględną: Jest to szereg o wyrazach dodatnich i będziemy go badać z kryterium d’Alemberta. Mamy Stąd szereg , zaś
. Liczymy granicę:
jest zbieżny, więc szereg
jest zbieżny bezwzględnie.
3)
Rozwiązanie Badamy zbieżność bezwzględną: Badamy go z kryterium porównawczego. ponieważ Do mianownika dopisaliśmy ciąg oraz zapamiętajmy, że
, bo
.
. Wiemy, że szereg
jest zbieżny, więc szereg
jest również zbieżny, a stąd wynika, że szereg
jest zbieżny bezwzględnie.
4)
Rozwiązanie Badamy zbieżność bezwzględną: Z kryterium porównawczego mamy: a o szeregu Badamy zbieżność warunkową, czyli liczymy granicę: Spełnione jest zatem kryterium Leibnitza, więc szereg wiemy, że jest rozbieżny, więc szereg
nie jest zbieżny bezwzględnie.
jest zbieżny warunkowo.
5)
Rozwiązanie Badamy zbieżność bezwzględną: Zauważmy, że nie jest spełnione kryterium Leibnitza, a mianowicie: To oznacza, że szereg jest rozbieżny
Zadanie 6. Zbadać zbieżność szeregów: (wszystkie przykłady w tym zadaniu są z tzw. haczykami, 1) i 4) już analogiczne były, 2) i 3) nowe)
1)
Rozwiązanie Korzystamy z kryterium d’Alemberta. Mamy, że Zatem szereg , zaś
. Liczymy granicę:
jest szeregiem zbieżnym.
2)
Rozwiązanie Zawsze w tego typu szeregach sprawdzamy najpierw warunek konieczny zbieżności: Zatem warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony. Stąd wynika, że szereg jest szeregiem rozbieżnym.
3)
Rozwiązanie Z postaci szeregu wnioskujemy, że należy zastosować kryterium porównawcze (grupa III). Niestety kryterium to nie przyniesie rezultatu, co pokażemy. Porównaliśmy ten szereg z szeregiem gdyż Z wyniku tego wnioskujemy, że nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności:
oraz
. Zatem szereg
jest rozbieżny, gdyż nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności.
4)
Rozwiązanie Mnożymy licznik i mianownik przez tzw. sprzężenie mianownika, aby pozbyć się wyrażenia nieoznaczonego Badamy różnicę stopni pomiędzy licznikiem a mianownikiem. Nasz szereg będzie zachowywał się jak szereg Pokazaliśmy, że Zatem szereg Wiemy, że jest to szereg rozbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu
. Zatem szacujemy nasz szereg od dołu, aby wykazać rozbieżność:
jest szeregiem rozbieżnym.
5)
Rozwiązanie
Korzystamy z kryterium d’Alemberta. Mamy, że , zaś
. Liczymy granicę:
Na podstawie kryterium d’Alemberta szereg powyższy jest zbieżny.
6)
Rozwiązanie Korzystamy z kryterium Cauchy’ego. Liczymy granicę: Na podstawie kryterium Cauchy’ego szereg powyższy jest zbieżny.