Mamy 5 zadań. Dwa pierwsze są przypomnieniem działań na wektorach. Zadanie 3 bada niezależność wektorów w przypadku, gdy ilość wektorów jest zgodna z wymiarem przestrzeni. Jest to bardzo proste sprawdzenie. W zadaniu 4 również badamy niezależność wektorów, ale ilość wektorów jest różna od wymiaru przestrzeni, co uniemożliwia zastosowanie poprzedniej metody. Zadanie nieco trudniejsze. Zadanie ostatnie również wykorzystuje definicję niezależności wektorów. Warto zapoznać się z zakładką Teoria tutaj.
Zadanie 1. W przestrzeni dane są wektory
. Obliczyć:
1) Rozwiązanie
2) Rozwiązanie
Zadanie 2. W przestrzeni rozwiązać równanie:
1) Rozwiązanie Tak jak w zwykłym równaniu niewiadomą pozostawiamy po lewej stronie, resztę przenosimy na stronę prawą:
Zadanie 3. Zbadać liniową zależność wektorów :
1) Rozwiązanie Z twierdzenia 2 zakładka Teoria wystarczy policzyć wyznacznik macierzy, której wierszami są dane wektory. Jeżeli wyznacznik będzie różny od zera, to wektory są liniowo niezależne, zaś jeżeli równy zero, to wektory są liniowo zależne. Wynika stąd, że wektory są liniowo niezależne.
2) Rozwiązanie Z twierdzenia 2 zakładka Teoria wystarczy policzyć wyznacznik macierzy, której wierszami są dane wektory. Jeżeli wyznacznik będzie różny od zera, to wektory są liniowo niezależne, zaś jeżeli równy zero, to wektory są liniowo zależne. Wynika stąd, że wektory są liniowo niezależne.
3) Rozwiązanie Z twierdzenia 2 zakładka Teoria wystarczy policzyć wyznacznik macierzy, której wierszami są dane wektory. Jeżeli wyznacznik będzie różny od zera, to wektory są liniowo niezależne, zaś jeżeli równy zero, to wektory są liniowo zależne. Wynika stąd, że wektory są liniowo niezależne.
4) Rozwiązanie Z twierdzenia 2 zakładka Teoria wystarczy policzyć wyznacznik macierzy, której wierszami są dane wektory. Jeżeli wyznacznik będzie różny od zera, to wektory są liniowo niezależne, zaś jeżeli równy zero, to wektory są liniowo zależne. Wynika stąd, że wektory są liniowo zależne.
Zadanie 4. Zbadać liniową zależność wektorów
1) Rozwiązanie Ponieważ mamy trzy wektory z przestrzeni Mnożymy i porównujemy odpowiednie współrzędne. Otrzymujemy układ równań: Jeżeli powyższy układ będzie miał niezerowe rozwiązanie, to układ wektorów jest liniowo zależny. Natomiast jeżeli jedynym jego rozwiązaniem jest rozwiązanie zerowe, to układ wektorów jest liniowo niezależny. Do rozwiązania układu zastosujemy metodę eliminacji Gaussa. Metoda rozwiązania nie jest istotna. Należy ten układ po prostu rozwiązać. Zatem: Wracamy do zapisu algebraicznego: Z czwartego równania otrzymujemy, że
-wymiarowej, nie możemy skorzystać z poprzedniego twierdzenia (twierdzenia 2). Skorzystamy zatem bezpośrednio z definicji liniowej niezależności wektorów. Załóżmy zatem, że
. Wstawiając kolejno do wcześniejszych równań mamy, że
oraz
. Widzimy, że jedynym rozwiązaniem jest rozwiązanie zerowe, a więc wektory są liniowo niezależne.
2) Rozwiązanie Ponieważ mamy trzy wektory z przestrzeni Mnożymy i porównujemy odpowiednie współrzędne. Otrzymujemy układ równań: Jeżeli powyższy układ będzie miał niezerowe rozwiązanie, to układ wektorów jest liniowo zależny. Natomiast jeżeli jedynym jego rozwiązaniem jest rozwiązanie zerowe, to układ wektorów jest liniowo niezależny. Do rozwiązania układu zastosujemy metodę eliminacji Gaussa. Metoda rozwiązania nie jest istotna. Należy ten układ po prostu rozwiązać. Zatem: Wracamy do zapisu algebraicznego: Istnieje niezerowe rozwiązanie np. dla
-wymiarowej, nie możemy skorzystać z poprzedniego twierdzenia (twierdzenia 2). Skorzystamy zatem bezpośrednio z definicji liniowej niezależności wektorów. Załóżmy zatem, że
mamy
. Zatem wektory są liniowo zależne.
3) Rozwiązanie Ponieważ mamy trzy wektory z przestrzeni Mnożymy i porównujemy odpowiednie współrzędne. Otrzymujemy układ równań: Jeżeli powyższy układ będzie miał niezerowe rozwiązanie, to układ wektorów jest liniowo zależny. Natomiast jeżeli jedynym jego rozwiązaniem jest rozwiązanie zerowe, to układ wektorów jest liniowo niezależny. Do rozwiązania układu zastosujemy metodę eliminacji Gaussa. Metoda rozwiązania nie jest istotna. Należy ten układ po prostu rozwiązać. Zatem: Wracamy do zapisu algebraicznego: Z ostatnich dwóch równań mamy
-wymiarowej, nie możemy skorzystać z poprzedniego twierdzenia (twierdzenia 2). Skorzystamy zatem bezpośrednio z definicji liniowej niezależności wektorów. Załóżmy zatem, że
. Wstawiając do pierwszych dwóch równań otrzymujemy
i
Zatem istnieje jedynie zerowe rozwiązanie, a więc wektory są liniowo niezależne.
Zadanie 5. Wiedząc, że wektory są liniowo niezależne, zbadać liniową niezależność wektorów:
1) Rozwiązanie Korzystamy z definicji liniowej niezależności: Grupujemy przy Ponieważ Jeżeli układ powyższy będzie miał niezerowe rozwiązanie, to wektory Aby stwierdzić, czy układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie wystarczy zbadać wyznacznik macierzy współczynników. Jeżeli będzie on różny od zera, wówczas będzie to układ Cramera, a więc jedynym jego rozwiązaniem będzie rozwiązanie zerowe. W przeciwnym przypadku, gdy wyznacznik jest równy zero, mamy rozwiązania niezerowe. Zbadajmy więc wyznacznik: Układ ma zatem jedynie rozwiązanie zerowe
:
są liniowo niezależne, więc wszystkie współczynniki muszą się równać zero. Zatem powstaje układ równań:
będą liniowo zależne, zaś jeżeli rozwiązanie będzie tylko zerowe to wektory
będą liniowo niezależne.
. Stąd wynika, że wektory
są liniowo niezależne.
2) Rozwiązanie Korzystamy z definicji liniowej niezależności: Grupujemy przy Ponieważ Jeżeli układ powyższy będzie miał niezerowe rozwiązanie, to wektory Aby stwierdzić, czy układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie wystarczy zbadać wyznacznik macierzy współczynników. Jeżeli będzie on różny od zera, wówczas będzie to układ Cramera, a więc jedynym jego rozwiązaniem będzie rozwiązanie zerowe. W przeciwnym przypadku, gdy wyznacznik jest równy zero, mamy rozwiązania niezerowe. Zbadajmy więc wyznacznik: Układ ma zatem rozwiązanie niezerowe. Powyższy układ przyjmie postać: Skąd wynika, że
:
są liniowo niezależne, więc wszystkie współczynniki muszą się równać zero. Zatem powstaje układ równań:
będą liniowo zależne, zaś jeżeli rozwiązanie będzie tylko zerowe to wektory
będą liniowo niezależne.
. Zatem przykładowym niezerowym rozwiązaniem jest
. Stąd wektory
są liniowo zależne.
3) Rozwiązanie Korzystamy z definicji liniowej niezależności: Grupujemy przy Ponieważ Jeżeli układ powyższy będzie miał niezerowe rozwiązanie, to wektory Aby stwierdzić, czy układ jednorodny ma niezerowe rozwiązanie wystarczy zbadać wyznacznik macierzy współczynników. Jeżeli będzie on różny od zera, wówczas będzie to układ Cramera, a więc jedynym jego rozwiązaniem będzie rozwiązanie zerowe. W przeciwnym przypadku, gdy wyznacznik jest równy zero, mamy rozwiązania niezerowe. Zbadajmy więc wyznacznik: Układ ma zatem rozwiązanie niezerowe. Rozwiązując go np. metodą podstawiania otrzymujemy, że
:
są liniowo niezależne, więc wszystkie współczynniki muszą się równać zero. Zatem powstaje układ równań:
będą liniowo zależne, zaś jeżeli rozwiązanie będzie tylko zerowe to wektory
będą liniowo niezależne.
i
. Zatem przykładowym niezerowym rozwiązaniem jest
. Stąd wektory
są liniowo zależne.