RÓWNANIA STOPNIA DRUGIEGO
o współczynnikach zespolonych rozwiązujemy standardowo, tzn. obliczamy wyróżnik (deltę)
i stosujemy znane ze szkoły wzory na pierwiastki równania kwadratowego
W szkole uczono, że gdy to rozwiązań brak. Jest to prawda w liczbach rzeczywistych. My, już wiemy, że w liczbach zespolonych istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Zatem równanie kwadratowe ma zawsze dwa rozwiązania (wliczając krotności pierwiastków).
Równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych mają rozwiązania zespolone będące liczbami sprzężonymi.
Między rozwiązaniami równania kwadratowego o współczynnikach zespolonych nie zachodzą żadne związki.
RÓWNANIA STOPNIA n
Równaniem stopnia nazywamy równanie
gdzie dla i
U podstaw rozwiązywania powyższych równań leży tzw.
Zasadnicze twierdzenie algebry:
Równanie stopnia o współczynnikach zespolonych ma w zbiorze liczb zespolonych dokładnie pierwiastków (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność). |
Wnioski z Zasadniczego twierdzenia algebry:
1. Niech wielomian zespolony stopnia ma pierwiastki zespolone o krotnościach dla oraz . Wtedy:
.
2. Jeżeli liczba zespolona jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to liczba sprzężona jest również pierwiastkiem tego wielomianu.
Rozwiązywanie równań wyższych stopni bywa niekiedy uciążliwe. Dużym ułatwieniem jest, gdy znamy jeden z pierwiastków równania. Wówczas, korzystając z wniosku 2, wiemy, że również liczba sprzężona jest jego pierwiastkiem. Możemy zatem obniżyć stopień równania o 2, co przy np. równaniu stopnia 4 sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego. Nie mając żadnego pierwiastka najczęściej rozpoczynamy poszukiwania od pierwiastków całkowitych. Poznane w szkole twierdzenie mówi, że: Niech i . Wówczas, jeżeli równanie ma pierwiastek całkowity to jest dzielnikiem wyrazu wolnego .
Zapraszamy do zadań! tutaj